Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Так как $\angle HKB=\angle HMB=90^\circ$, точки $B,K,H,M$ лежат на одной окружности с диаметром $BH$. Из вписанности $\angle KMB=90^\circ-\angle KMH=90^\circ-\angle KBH=90^\circ-(90^\circ-\angle A)=\angle A$. Значит, у треугольников $KBM$ и $CBA$ угол $B$ общий, а $\angle KMB=\angle BAC$, поэтому $\triangle KBM\sim\triangle CBA$. Их описанные окружности имеют диаметры $BH$ и $2R$, значит коэффициент подобия $k=\dfrac{BH}{2R}=\dfrac{\sqrt2 R}{2R}=\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Поскольку $\angle BOC=2\angle BAC$ (центральный угол вдвое больше вписанного), а $OB=OC=R$, то $\angle OBC=\dfrac{180^\circ-\angle BOC}{2}=90^\circ-\angle A$. Такой же угол с $BM$ образует высота из $B$ в треугольнике $KBM$ (в прямоугольном треугольнике угол между гипотенузой и высотой равен $90^\circ-\angle A$). Следовательно, луч $BO$ совпадает с направлением этой высоты, то есть $BO\perp KM$.

Длина высоты из $B$ к $KM$ равна $k\cdot BH=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\sqrt2 R=R$, то есть равна $BO$. Значит, основание этой высоты — точка $O$, и она лежит на прямой $KM$, что и требовалось доказать.

б) Площадь $S=\dfrac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B=\dfrac12\cdot6\cdot3\sqrt2\cdot\sin B=9\sqrt2\sin B$.

По теореме синусов $AC=2R\sin B$, тогда $S=\dfrac12\cdot BH\cdot AC=\dfrac12\cdot\sqrt2R\cdot2R\sin B=\sqrt2R^2\sin B$.

Приравнивая: $\sqrt2R^2\sin B=9\sqrt2\sin B\Rightarrow R^2=9\Rightarrow R=3.$