ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Показательные неравенства

Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Неравенства смешанного типаРациональные неравенства

Решите неравенство левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \tfracx правая круглая скобка x минус 4 больше левая круглая скобка 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2x левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка .

В подтеме 43 задач
Разбор
Главная идея: Свести обе части неравенства к одному основанию (2−1)(\sqrt2-1), учесть, что это основание меньше 1 (значит функция убывающая и знак неравенства меняется при сравнении показателей), после чего решить полученное рациональное неравенство методом интервалов.
  1. Заметим, что 3−22=2−22+1=(2−1)23-2\sqrt2 = 2-2\sqrt2+1=(\sqrt2-1)^2. Значит правую часть можно переписать через то же основание 2−1\sqrt2-1: (3−22)12x(x−4)=((2−1)2)12x(x−4)=(2−1)1x(x−4).(3-2\sqrt2)^{\frac{1}{2x(x-4)}}=\left((\sqrt2-1)^2\right)^{\frac{1}{2x(x-4)}}=(\sqrt2-1)^{\frac{1}{x(x-4)}}.
  2. Теперь неравенство приняло вид (2−1)xx−4>(2−1)1x(x−4).(\sqrt2-1)^{\frac{x}{x-4}}>(\sqrt2-1)^{\frac{1}{x(x-4)}}. Основание 0<2−1<10<\sqrt2-1<1, поэтому показательная функция с таким основанием убывает. Значит при сравнении степеней знак неравенства меняется на противоположный: xx−4<1x(x−4).\frac{x}{x-4}<\frac{1}{x(x-4)}.
  3. Переносим всё в одну сторону и приводим к общему знаменателю x(x−4)x(x-4): xx−4−1x(x−4)<0  ⇒  x2−1x(x−4)<0.\frac{x}{x-4}-\frac{1}{x(x-4)}<0 \;\Rightarrow\; \frac{x^2-1}{x(x-4)}<0.
  4. Числитель x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1) равен нулю при x=±1x=\pm1, знаменатель x(x−4)x(x-4) равен нулю при x=0, x=4x=0,\,x=4 (эти точки исключаются из ОДЗ). Расставляем знаки дроби методом интервалов, отмечая точки −1,0,1,4-1,0,1,4 на числовой прямой. Дробь отрицательна на промежутках, где числитель и знаменатель имеют разные знаки — это (−1;0)(-1;0) и (1;4)(1;4).
  5. Проверяем, что в этих промежутках знаменатели исходных степеней x−4x-4 и x(x−4)x(x-4) не равны нулю — условие выполняется автоматически, так как точки 00 и 44 уже исключены. Итог: решение неравенства — объединение найденных интервалов.

Типичные ошибки

  • Не заметить, что 3−22=(2−1)23-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2, и пытаться решать неравенство с разными основаниями напрямую.
  • Забыть поменять знак неравенства при переходе от сравнения степеней к сравнению показателей, так как основание меньше единицы.
  • Не учесть область определения (исключить точки x=0x=0 и x=4x=4, где знаменатели обращаются в нуль) при решении рационального неравенства.
Непонятно?

Похожие задачи