Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Шаг 1. Приводим основание степени слева к простому виду.

$3\sqrt3 = 3\cdot 3^{1/2}=3^{3/2}$, поэтому $$\left(3\sqrt3\right)^{\frac{4(x-2)}{3}}=\left(3^{3/2}\right)^{\frac{4(x-2)}{3}}=3^{\frac{3}{2}\cdot\frac{4(x-2)}{3}}=3^{2(x-2)}=3^{2x-4}.$$ Это действие нужно, чтобы обе части неравенства были степенями одного и того же числа 3 — только тогда можно сравнивать показатели.

Шаг 2. Записываем неравенство в новом виде: $$3^{2x-4}+8>3^{2x-2}.$$

Шаг 3. Выделяем общий множитель $3^{2x-4}$.

Заметим, что $3^{2x-2}=3^{2x-4}\cdot 3^{2}=9\cdot3^{2x-4}$. Подставляем: $$3^{2x-4}+8>9\cdot 3^{2x-4}.$$

Шаг 4. Приводим подобные слагаемые.

Переносим $3^{2x-4}$ вправо: $$8>8\cdot 3^{2x-4}\ \Longrightarrow\ 1>3^{2x-4}.$$ (Делили обе части на положительное число 8, знак неравенства не меняется.)

Шаг 5. Сравниваем показатели.

Так как $1=3^0$, неравенство принимает вид $$3^0>3^{2x-4}.$$ Показательная функция $3^t$ строго возрастает, значит неравенство сохраняет знак при переходе к показателям: $$0>2x-4.$$

Шаг 6. Решаем линейное неравенство. $$2x<4 \Longrightarrow x<2.$$

Область определения исходного выражения — все действительные $x$ (никаких ограничений на аргумент степени нет), поэтому итоговый ответ совпадает с найденным множеством.