ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Показательные неравенства

Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Показательные уравнения и неравенстваВведение замены

Решите неравенство: левая круглая скобка 9 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс 8 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше 8 умножить на 9 в степени x плюс 20.

В подтеме 43 задач
Разбор
Главная идея: Ввести замену t=9x−3x+1t=9^{x}-3^{x+1}, свернуть выражение в квадратное неравенство относительно tt, а затем решить получившуюся систему показательных неравенств заменой a=3xa=3^{x}.
  1. Заметим, что 9x=(3x)29^{x}=(3^{x})^{2} и 3x+1=3⋅3x3^{x+1}=3\cdot 3^{x}, поэтому обозначим t=9x−3x+1t=9^{x}-3^{x+1}. Тогда исходное неравенство (9x−3x+1)2+8⋅3x+1<8⋅9x+20\left(9^{x}-3^{x+1}\right)^{2}+8\cdot 3^{x+1}<8\cdot 9^{x}+20 переписывается через tt: t2−8t−20<0t^{2}-8t-20<0 — это получилось после переноса всех членов влево и группировки, ведь t2=92x−2⋅9x⋅3x+1+32x+2t^{2}=9^{2x}-2\cdot9^{x}\cdot3^{x+1}+3^{2x+2}, а после вычитания 8⋅9x8\cdot9^{x} и 8⋅3x+18\cdot3^{x+1} квадрат сворачивается именно в t2−8t−20t^{2}-8t-20.
  2. Решаем квадратное неравенство: t2−8t−20=(t+2)(t−10)<0⇒−2<t<10t^{2}-8t-20=(t+2)(t-10)<0\Rightarrow -2<t<10.
  3. Возвращаемся к xx: −2<9x−3x+1<10-2<9^{x}-3^{x+1}<10, то есть система 9x−3⋅3x+2>0,9x−3⋅3x−10<0.9^{x}-3\cdot3^{x}+2>0,\qquad 9^{x}-3\cdot3^{x}-10<0.
  4. Введём a=3x>0a=3^{x}>0.
  • Первое неравенство: a2−3a+2>0⇒a<1a^{2}-3a+2>0\Rightarrow a<1 или a>2a>2. Значит 3x<1⇒x<03^{x}<1\Rightarrow x<0, или 3x>2⇒x>log⁡323^{x}>2\Rightarrow x>\log_{3}2.
  • Второе неравенство: a2−3a−10<0⇒−2<a<5a^{2}-3a-10<0\Rightarrow -2<a<5. Так как a>0a>0, получаем 0<a<5⇒3x<5⇒x<log⁡350<a<5\Rightarrow 3^{x}<5\Rightarrow x<\log_{3}5.
  1. Пересечение условий: нужно, чтобы выполнялось x<0x<0 или x>log⁡32x>\log_{3}2, и одновременно x<log⁡35x<\log_{3}5.
  • При x<0x<0 второе условие x<log⁡35x<\log_{3}5 выполняется автоматически (так как log⁡35>0\log_{3}5>0).
  • При x>log⁡32x>\log_{3}2 и x<log⁡35x<\log_{3}5 получаем интервал log⁡32<x<log⁡35\log_{3}2<x<\log_{3}5.
  1. Объединяя оба случая, получаем ответ.

Типичные ошибки

  • Не заметить, что 9x=(3x)29^{x}=(3^{x})^{2} и 3x+1=3⋅3x3^{x+1}=3\cdot3^{x}, из-за чего не удаётся свернуть выражение в квадратное относительно tt
  • Забыть учесть область допустимых значений a=3x>0a=3^{x}>0 при решении второго неравенства, что приводит к лишнему условию a>−2a>-2
  • Ошибиться при объединении решений двух отдельных неравенств вместо нахождения их пересечения
Непонятно?

Похожие задачи