Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

1. Введём переменную $u=5^x>0$ (это удобно, так как $25^x=(5^x)^2=u^2$). Тогда неравенство $$(25^x-4\cdot5^x)^2+8\cdot5^x<2\cdot25^x+15$$ запишется как $$(u^2-4u)^2+8u<2u^2+15.$$

2. Обозначим $t=u^2-4u=25^x-4\cdot5^x$. Раскрыв квадрат и перенеся всё влево, легко проверить, что исходное неравенство равносильно $$t^2-2t-15<0.$$ Это получается, потому что $(u^2-4u)^2-2(u^2-4u)=u^4-8u^3+16u^2-2u^2+8u=u^4-8u^3+14u^2+8u$, что совпадает с левой частью после переноса $2u^2+15$ влево.

3. Решаем квадратное неравенство относительно $t$: разложим на множители $$t^2-2t-15=(t+3)(t-5)<0 \Rightarrow -3<t<5.$$

4. Возвращаемся к $u$: $-3<u^2-4u<5$. Разбиваем на два неравенства:

• $u^2-4u+3>0 \Rightarrow (u-1)(u-3)>0 \Rightarrow u<1$ или $u>3$;
• $u^2-4u-5<0 \Rightarrow (u-5)(u+1)<0 \Rightarrow -1<u<5$.

Поскольку $u=5^x>0$, второе условие фактически даёт $0<u<5$.

5. Пересекаем полученные множества: из $u<1$ и $0<u<5$ получаем $0<u<1$; из $u>3$ и $0<u<5$ получаем $3<u<5$. Итого $$u\in(0,1)\cup(3,5).$$

6. Возвращаемся к $x$, используя монотонность показательной функции $5^x$:

• $5^x<1 \Leftrightarrow x<0$;
• $3<5^x<5 \Leftrightarrow \log_5 3<x<1$ (так как $5^{\log_5 3}=3$, $5^1=5$, а функция $5^x$ возрастает).

7. Объединяя, получаем ответ.