Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Обозначим $t=4^{\frac{1}{x}-1}$. Так как показательная функция всегда положительна, $t>0$. Заметим, что $16^{\frac{1}{x}-1}=\left(4^{\frac{1}{x}-1}\right)^2=t^2$. Тогда исходное неравенство переписывается как $t^2-t-2\ge 0$.

Разложим квадратный трёхчлен на множители: $t^2-t-2=(t-2)(t+1)$. Неравенство $(t-2)(t+1)\ge0$ выполняется при $t\le-1$ или $t\ge2$ (метод интервалов для параболы с ветвями вверх).

Учитывая условие $t>0$, отбрасываем ветку $t\le-1$, остаётся $t\ge2$.

Возвращаемся к переменной $x$: $4^{\frac{1}{x}-1}\ge2$. Приведём к одному основанию: $4=2^2$, поэтому $2^{\frac{2}{x}-2}\ge2^1$. Так как основание $2>1$, показательная функция возрастает, значит неравенство равносильно неравенству показателей: $\frac{2}{x}-2\ge1$, то есть $\frac{2}{x}\ge3$.

Переносим и приводим к общему знаменателю: $\frac{2}{x}-3\ge0 \Rightarrow \frac{2-3x}{x}\ge0$. Решаем методом интервалов, учитывая, что $x\ne0$ (знаменатель не может быть нулём): числитель $2-3x=0$ при $x=2/3$, знаменатель равен нулю при $x=0$. Знак дроби положителен между корнями $0$ и $2/3$, причём точка $x=2/3$ входит (неравенство нестрогое), а $x=0$ не входит (деление на ноль).

Итог: $0<x\le\frac{2}{3}$.