Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

Проведём высоту $KP$ треугольника $MKN$ к диаметру $MN$ (по условию $KP=15$, $OK=17$ — радиус).

1. Находим $OP$. В прямоугольном треугольнике $KOP$ по теореме Пифагора $$OP=\sqrt{OK^2-KP^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8.$$

2. Находим $KF$ и $PF$. В прямоугольном треугольнике $KPF$ угол при $F$ равен данному углу, $\cos\angle KFN=\frac45,\ \sin\angle KFN=\frac35$. Так как $KP$ — катет напротив этого угла, $$KF=\frac{KP}{\sin\angle KFN}=\frac{15}{3/5}=25,\qquad PF=KF\cos\angle KFN=25\cdot\frac45=20.$$

3. Расположение точек. Поскольку $PF=20>OP=8$, точка $F$ лежит дальше от $P$, чем $O$, то есть $O$ и $P$ — по разные стороны от $F$. Тогда $OF=PF-OP=12$, и $$NF=NO+OF=17+12=29,\qquad FM=MN-NF=34-29=5.$$

4. Теорема о пересекающихся хордах. Для хорд $KE$ и $MN$: $$KF\cdot FE=NF\cdot FM\ \Rightarrow\ FE=\frac{29\cdot5}{25}=5{,}8=\frac{29}{5}.$$ Отсюда $\dfrac{KF}{FE}=\dfrac{25}{5{,}8}=\dfrac{125}{29}$ — доказано (пункт а).

б) Площадь треугольника $KEN$. $KE=KF+FE=25+5{,}8=30{,}8$.

Угол $\angle KOP$ — центральный, $\cos\angle KOP=\dfrac{OP}{OK}=\dfrac8{17}$. Вписанный угол $\angle KEN$ опирается на ту же дугу, что и центральный угол $\angle KON=\angle KOP$, поэтому по теореме о вписанном угле $\angle KEN=\frac12\angle KOP$. По формуле половинного угла $$\sin\angle KEN=\sqrt{\frac{1-\cos\angle KOP}{2}}=\sqrt{\frac{1-8/17}{2}}=\frac{3}{\sqrt{34}}.$$

Найдём $EN$ по теореме косинусов в треугольнике $EFN$ (угол $\angle EFN=180^\circ-\angle KFN$, $\cos\angle EFN=-\frac45$): $$EN^2=EF^2+FN^2-2\cdot EF\cdot FN\cos\angle EFN=5{,}8^2+29^2+2\cdot5{,}8\cdot29\cdot\frac45=1143{,}76,$$ $$EN=5{,}8\sqrt{34}.$$

Тогда $$S_{KEN}=\frac12\cdot KE\cdot EN\cdot\sin\angle KEN=\frac12\cdot30{,}8\cdot5{,}8\sqrt{34}\cdot\frac{3}{\sqrt{34}}=\frac12\cdot30{,}8\cdot5{,}8\cdot3=267{,}96.$$