ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Показательные неравенства

Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Неравенства высших степенейНеравенства смешанного типа

Решите неравенство: 3 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус x в кубе умножить на 3 в степени x \leqslant81 минус 3x в кубе .

В подтеме 43 задач
Разбор
Главная идея: Свести показательное неравенство к произведению двух множителей вида (3x−3)(3^x-3) и (3−x)(3-x), используя вынесение общего множителя и формулу разности кубов, а затем определить знаки через монотонность 3x3^x.

  1. Перепишем 3x+33^{x+3} как 3x⋅33=27⋅3x3^x\cdot 3^3=27\cdot3^x (свойство am+n=am⋅ana^{m+n}=a^m\cdot a^n).

  2. Неравенство примет вид: 27⋅3x−x3⋅3x≤81−3x3.27\cdot3^x-x^3\cdot3^x\le81-3x^3.

  3. Перенесём всё влево: 27⋅3x−81−x3⋅3x+3x3≤0.27\cdot3^x-81-x^3\cdot3^x+3x^3\le0.

  4. Сгруппируем и вынесем общие множители 2727 и x3x^3 за скобки: 27(3x−3)−x3(3x−3)≤0.27(3^x-3)-x^3(3^x-3)\le0.

  5. Теперь (3x−3)(3^x-3) — общий множитель, выносим его: (3x−3)(27−x3)≤0.(3^x-3)(27-x^3)\le0.

  6. Разложим 27−x3=33−x327-x^3=3^3-x^3 по формуле разности кубов a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2): 27−x3=(3−x)(9+3x+x2).27-x^3=(3-x)(9+3x+x^2).

  7. У квадратного трёхчлена x2+3x+9x^2+3x+9 дискриминант D=9−36=−27<0D=9-36=-27<0, а старший коэффициент положителен, значит он всегда строго положителен и не влияет на знак произведения.

  8. Значит неравенство равносильно: (3x−3)(3−x)≤0.(3^x-3)(3-x)\le0.

  9. Функция 3x3^x возрастает, поэтому 3x−3=03^x-3=0 при x=1x=1, при x<1x<1 это выражение отрицательно, при x>1x>1 — положительно.

  10. Второй множитель 3−x3-x равен нулю при x=3x=3, положителен при x<3x<3, отрицателен при x>3x>3.

  11. Найдём знаки произведения на интервалах:

  • при x<1x<1: (−)(+)=−(-)(+)=- — подходит;
  • при 1<x<31<x<3: (+)(+)=+(+)(+)=+ — не подходит;
  • при x>3x>3: (+)(−)=−(+)(-)=- — подходит;
  • точки x=1x=1 и x=3x=3 дают произведение 00 — подходят.
  1. Объединяя, получаем решение x≤1x\le1 или x≥3x\ge3.

Типичные ошибки

  • Не замечают, что 3x+3=27⋅3x3^{x+3}=27\cdot3^x, и пытаются решать неравенство напрямую без преобразования.
  • Забывают проверить знак квадратного трёхчлена x2+3x+9x^2+3x+9 и ошибочно учитывают его при определении знака произведения.
  • Неправильно определяют промежутки знакопостоянства множителя 3x−33^x-3, не используя возрастание показательной функции.
Непонятно?

Похожие задачи