Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Перенесём всё в одну сторону: $6^{x^2}-4^x\cdot3^{x^2}+81\cdot4^x-81\cdot2^{x^2}\le0$. Здесь $6^{x^2}=2^{x^2}\cdot3^{x^2}$, поэтому первые два слагаемых имеют общий множитель $3^{x^2}$, а последние два — общий множитель $81=3^4$.

Группируем: $3^{x^2}(2^{x^2}-4^x)-81(2^{x^2}-4^x)\le0$, то есть $(2^{x^2}-4^x)(3^{x^2}-81)\le0$ — вынесли общий множитель $(2^{x^2}-4^x)$.

Заменим $4^x=2^{2x}$, $81=3^4$: $(2^{x^2}-2^{2x})(3^{x^2}-3^4)\le0$.

Так как показательные функции с основаниями $2>1$ и $3>1$ монотонно возрастают, разность степеней имеет тот же знак, что и разность показателей (метод рационализации): $2^{a}-2^{b}$ и $a-b$ — одного знака, аналогично для тройки. Получаем $(x^2-2x)(x^2-4)\le0$.

Раскладываем на множители: $x(x-2)\cdot(x-2)(x+2)\le0$, то есть $x(x-2)^2(x+2)\le0$.

Множитель $(x-2)^2\ge0$ всегда, поэтому неравенство выполняется либо когда $x(x+2)\le0$ (тогда всё произведение неположительно), либо когда $(x-2)^2=0$, то есть $x=2$ (тогда всё выражение равно нулю независимо от знака остального).

Решаем $x(x+2)\le0$: корни $x=0$ и $x=-2$, парабола ветвями вверх, значит решение $-2\le x\le0$.

Объединяем с отдельной точкой $x=2$: получаем итоговое множество решений.