ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Описанные окружности и треугольники

Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Теорема синусовУглы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

В остроугольном треугольнике АВС провели высоты АН1 и СН2, затем провели луч НМ, который пересекает окружность, описанную около треугольника АВС, в точке К, где М  — середина АС, а Н  — точка пересечения высот.

а)  Докажите, что НМ  =  МК.

б)  Найдите площадь треугольника ВСК, если \angleABC=60 градусов, \angleBAC=45 градусов, AC  =  1.

В подтеме 33 задач
Разбор
Главная идея: Показать, что четырёхугольник, образованный ортоцентром, серединой стороны и симметричной ей точкой на описанной окружности, является параллелограммом, а затем использовать свойства вписанных углов и параллельности сторон для вычисления углов и стороны треугольника BCK.

а) Возьмём на луче HMHM точку K1K_1, симметричную HH относительно MM. Тогда диагонали ACAC и HK1HK_1 четырёхугольника CHAK1CHAK_1 пересекаются в их общей середине MM, значит CHAK1CHAK_1 — параллелограмм. В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому ∠AK1C=∠AHC\angle AK_1C=\angle AHC.

Известное свойство ортоцентра: ∠AHC=180∘−∠B\angle AHC=180^\circ-\angle B. С другой стороны, если KK — точка пересечения луча с описанной окружностью, то ABKCABKC — вписанный четырёхугольник, и его противоположные углы дают ∠AKC=180∘−∠B\angle AKC=180^\circ-\angle B.

Таким образом ∠AK1C=∠AKC\angle AK_1C=\angle AKC. Но угол, под которым видна хорда ACAC, строго убывает при удалении точки наружу от окружности и строго возрастает при попадании внутрь неё. Поэтому равенство углов возможно только если K1K_1 лежит на самой окружности, то есть K1=KK_1=K. Значит HM=MKHM=MK.

б) Поскольку MM — середина обеих диагоналей ACAC и HKHK, четырёхугольник AKCHAKCH — параллелограмм. Отсюда CK∥AHCK\parallel AH и AK∥CHAK\parallel CH.

Так как AH⊥BCAH\perp BC (высота), то и CK⊥BCCK\perp BC, то есть ∠KCB=90∘\angle KCB=90^\circ.

Вписанные углы ∠KBC\angle KBC и ∠KAC\angle KAC опираются на одну дугу KCKC, значит ∠KBC=∠KAC\angle KBC=\angle KAC. Из параллельности AK∥CHAK\parallel CH (накрест лежащие углы при секущей ACAC) ∠KAC=∠ACH\angle KAC=\angle ACH. В прямоугольном треугольнике ACHACH угол ∠AHC=90∘\angle AHC=90^\circ, поэтому ∠ACH=90∘−∠BAC=90∘−45∘=45∘\angle ACH=90^\circ-\angle BAC=90^\circ-45^\circ=45^\circ.

Следовательно ∠KBC=45∘\angle KBC=45^\circ, а так как ∠KCB=90∘\angle KCB=90^\circ, треугольник BCKBCK — прямоугольный равнобедренный (∠BKC=45∘\angle BKC=45^\circ), то есть BC=CKBC=CK.

Поскольку ∠BCK=90∘\angle BCK=90^\circ опирается на отрезок BKBK, этот отрезок является диаметром описанной окружности: BK=2RBK=2R. По теореме синусов 2R=ACsin⁡∠ABC=1sin⁡60∘=232R=\dfrac{AC}{\sin\angle ABC}=\dfrac{1}{\sin60^\circ}=\dfrac{2}{\sqrt3}, значит BK=23BK=\dfrac{2}{\sqrt3}.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике катет равен BK2\dfrac{BK}{\sqrt2}, поэтому площадь SBCK=12⋅BC⋅CK=12(BK2)2=BK24=14⋅43=13.S_{BCK}=\frac12\cdot BC\cdot CK=\frac12\left(\frac{BK}{\sqrt2}\right)^2=\frac{BK^2}{4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac13.

Типичные ошибки

  • Не учитывают, что угол, опирающийся на хорду, зависит от положения точки относительно окружности (больше/меньше вписанного угла), из-за чего доказательство совпадения точек проводят неверно.
  • Ошибочно считают, что AKCH — параллелограмм без обоснования через равенство отрезков диагоналей (без пункта а)).
  • Неправильно определяют, что BK — диаметр окружности, забывая проверить, что угол BCK равен 90°.
Непонятно?

Похожие задачи