Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Введём замену $t=\dfrac{7^{x}+7^{-x}}{2}$. Тогда неравенство превращается в квадратное относительно $t$: $2t^{2}-7t+3\le0$.

Разложим на множители: $(2t-1)(t-3)\le0$. Парабола смотрит вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $\dfrac12\le t\le3$.

Возвращаемся к исходной переменной: $\dfrac12\le\dfrac{7^{x}+7^{-x}}{2}\le3$, то есть $1\le 7^{x}+7^{-x}\le6$.

Для любого $x$ по неравенству о сумме двух взаимно обратных положительных чисел $7^{x}+7^{-x}\ge2$ (равенство при $x=0$). Значит левая часть $1\le7^{x}+7^{-x}$ уже выполнена автоматически, и остаётся решить только $7^{x}+7^{-x}\le6$.

Пусть $y=7^{x}>0$. Получаем $y+\dfrac1y\le6\iff y^{2}-6y+1\le0$. Корни этого квадратного уравнения: $y_{1,2}=3\pm2\sqrt2$ (оба положительны, так как $3-2\sqrt2\approx0,17>0$).

Так как парабола смотрит вверх, неравенство $y^{2}-6y+1\le0$ выполняется при $3-2\sqrt2\le y\le3+2\sqrt2$.

Возвращаемся к $x$: $3-2\sqrt2\le7^{x}\le3+2\sqrt2$. Логарифм по основанию $7$ монотонно возрастает, поэтому неравенство сохраняется при взятии логарифма: $\log_7(3-2\sqrt2)\le x\le\log_7(3+2\sqrt2)$.