Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Заметим, что $45^x=3^{2x}\cdot5^x$, $27^x=3^{2x}\cdot3^x$, $15^x=3^x\cdot5^x$, $9^{x+1}=9\cdot3^{2x}$, $3^{x+4}=81\cdot3^x$. Подставим это в исходное выражение: $$3^{2x}5^x-3^{2x}3^x-18\cdot3^x5^x+18\cdot3^{2x}+81\cdot5^x-81\cdot3^x\le0.$$ Сгруппируем слагаемые так, чтобы вынести общий множитель $(5^x-3^x)$: $$3^{2x}(5^x-3^x)-18\cdot3^x(5^x-3^x)+81(5^x-3^x)\le0,$$ $$(5^x-3^x)\big(3^{2x}-18\cdot3^x+81\big)\le0.$$ Выражение в скобках — квадрат разности: $3^{2x}-18\cdot3^x+81=(3^x-9)^2$. Получаем $$(5^x-3^x)(3^x-9)^2\le0.$$ Поскольку $(3^x-9)^2\ge0$ всегда, произведение может быть неположительным только в двух случаях:

1. множитель $(3^x-9)^2=0$, то есть $3^x=9\Rightarrow x=2$ — при этом всё произведение равно нулю независимо от знака первого множителя;
2. множитель $(3^x-9)^2>0$ (то есть $x\ne2$), тогда нужно $5^x-3^x\le0$. Решим $5^x-3^x\le0$: разделим обе части на $3^x>0$, получим $(5/3)^x\le1$. Так как основание $5/3>1$, показательная функция возрастает, значит неравенство выполняется при $x\le0$. Объединяя оба случая (учитывая, что $x=2$ уже даёт решение), получаем множество решений $x\le0$ или $x=2$.