Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Заметим, что $45^{x}=9^{x}\cdot5^{x}=3^{2x}\cdot5^{x}$, $27^{x}=3^{2x}\cdot3^{x}$, $15^{x}=3^{x}\cdot5^{x}$, $9^{x}=3^{2x}$, а $3^{x+2}=9\cdot3^{x}$. Подставив это в неравенство и приведя всё к одному знаку, получаем $$3\cdot3^{2x}(5^{x}-3^{x})-28\cdot3^{x}(5^{x}-3^{x})+9(5^{x}-3^{x})\le0,$$ то есть общий множитель $(5^{x}-3^{x})$ выносится за скобки: $$(5^{x}-3^{x})\big(3\cdot3^{2x}-28\cdot3^{x}+9\big)\le0.$$ Это получилось потому, что все степени можно выразить через $3^{x}$ и $5^{x}$, и после группировки остаются одинаковые множители — типичный приём для показательных выражений с разными основаниями, кратными друг другу.

Обозначим $A(x)=5^{x}-3^{x}$ и $B(x)=3\cdot3^{2x}-28\cdot3^{x}+9$.

1. $A(x)=0$ при $\left(\dfrac{5}{3}\right)^{x}=1$, то есть $x=0$. Так как $\dfrac{5}{3}>1$, функция $A(x)$ возрастает: при $x<0$ она отрицательна, при $x>0$ положительна.

2. В $B(x)$ сделаем замену $t=3^{x}>0$: $3t^{2}-28t+9=0$. По формуле корней квадратного уравнения $t=\dfrac{28\pm\sqrt{784-108}}{6}=\dfrac{28\pm26}{6}$, откуда $t=9$ или $t=\dfrac13$. Тогда $3^{x}=9\Rightarrow x=2$, $3^{x}=\dfrac13\Rightarrow x=-1$. Поскольку парабола по $t$ направлена вверх, между корнями $B(x)<0$, вне — $B(x)>0$, значит $B(x)<0$ при $x\in(-1,2)$ и $B(x)>0$ при $x<-1$ или $x>2$.

3. Теперь методом интервалов исследуем знак произведения $A(x)B(x)$ на промежутках, разделённых точками $-1,0,2$:

• $x<-1$: $A<0,\;B>0\Rightarrow AB<0$ — подходит;
• $-1<x<0$: $A<0,\;B<0\Rightarrow AB>0$ — не подходит;
• $0<x<2$: $A>0,\;B<0\Rightarrow AB<0$ — подходит;
• $x>2$: $A>0,\;B>0\Rightarrow AB>0$ — не подходит.

В точках $x=-1,0,2$ произведение равно нулю, они входят в решение.

Объединяя, получаем $x\in(-\infty;-1]\cup[0;2]$.