ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Показательные неравенства

Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Показательные уравнения и неравенстваГруппировка

Решите неравенство дробь: числитель: 5 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка , знаменатель: 125 конец дроби минус 5 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка плюс 25 меньше или равно дробь: числитель: 5 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка , знаменатель: 5 конец дроби .

В подтеме 43 задач
Разбор
Главная идея: Свести все степени к основанию 5, сгруппировать по общему множителю так, чтобы получить произведение разностей одинаковых степенных функций, и заменить сравнение показателей на сравнение аргументов (метод рационализации), после чего решить полученное кубическое неравенство методом интервалов.

1. Приводим все степени к одному основанию 5. Запишем неравенство: 52x2+2x125−52x2+25≤52x5.\frac{5^{2x^2+2x}}{125}-5^{2x^2}+25\le\frac{5^{2x}}{5}. Так как 125=53125=5^3, 25=5225=5^2, домножим обе части на положительное число 535^3 — знак неравенства не изменится: 52x2+2x−52x2⋅53+55≤52x⋅52.5^{2x^2+2x}-5^{2x^2}\cdot5^3+5^5\le5^{2x}\cdot5^2.

2. Группируем слагаемые. Заметим, что 52x2+2x=52x2⋅52x5^{2x^2+2x}=5^{2x^2}\cdot5^{2x}. Перенесём всё в левую часть: 52x2⋅52x−52x2⋅53+55−52x⋅52≤0.5^{2x^2}\cdot5^{2x}-5^{2x^2}\cdot5^3+5^5-5^{2x}\cdot5^2\le0. Выносим общие множители по парам: 52x2(52x−53)−52(52x−53)≤0,5^{2x^2}(5^{2x}-5^3)-5^2(5^{2x}-5^3)\le0, (52x−53)(52x2−52)≤0.(5^{2x}-5^3)(5^{2x^2}-5^2)\le0.

3. Переходим от показателей к разностям аргументов. Показательная функция 5t5^t строго возрастает, поэтому знак выражения 5a−5b5^a-5^b совпадает со знаком (a−b)(a-b). Значит: (2x−3)(2x2−2)≤0.(2x-3)(2x^2-2)\le0. Вынесем 2 (положительный множитель) из второй скобки: 2(2x−3)(x2−1)≤0  ⇒  (2x−3)(x−1)(x+1)≤0.2(2x-3)(x^2-1)\le0 \;\Rightarrow\; (2x-3)(x-1)(x+1)\le0.

4. Решаем неравенство методом интервалов. Корни: x=−1,  1,  1,5x=-1,\;1,\;1{,}5. Определяем знак произведения на каждом промежутке (подставляя пробные точки), получаем, что выражение ≤0\le0 при x≤−1или1≤x≤1,5.x\le-1 \quad\text{или}\quad 1\le x\le1{,}5.

Таким образом решение неравенства: (−∞;−1]∪[1;1,5](-\infty;-1]\cup[1;1{,}5].

Типичные ошибки

  • Ошибка при переводе множителей 125, 25, 5 к степеням пятёрки и, соответственно, неверное умножение обеих частей неравенства.
  • Неверное применение свойства монотонности показательной функции — забывают, что 5a−5b5^a-5^b имеет тот же знак, что и a−ba-b, только когда основание больше 1.
  • Ошибки при определении знаков множителей на интервалах метода интервалов, особенно потеря знака равенства в граничных точках.
Непонятно?

Похожие задачи