ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Показательные неравенства

Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Показательные уравнения и неравенстваГруппировка

Решите неравенство 32 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 16 конец дроби плюс 1 больше или равно 2 в степени левая круглая скобка 3x плюс 9 правая круглая скобка .

В подтеме 43 задач
Разбор
Главная идея: Свести показательное выражение к разности степеней одного основания и применить рационализацию: (2f−2g)(2^{f}-2^{g}) имеет тот же знак, что и (f−g)(f-g), сведя задачу к обычному кубическому неравенству.
  1. Заметим, что 32=2532=2^5, а 25=2924=29162^5=\dfrac{2^9}{2^4}=\dfrac{2^9}{16}. Значит 32⋅2x2+3x=2x2+3x+91632\cdot2^{x^2+3x}=\dfrac{2^{x^2+3x+9}}{16}. Подставим это в неравенство: 2x2+3x+916−2x216+1≥23x+9.\frac{2^{x^2+3x+9}}{16}-\frac{2^{x^2}}{16}+1\ge 2^{3x+9}.
  2. Умножим обе части на 16>016>0 (знак сохраняется): 2x2+3x+9−2x2+16≥16⋅23x+9.2^{x^2+3x+9}-2^{x^2}+16\ge16\cdot2^{3x+9}.
  3. Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем слагаемые, выделив общий множитель 23x+92^{3x+9} и −1-1: 23x+9(2x2−16)−(2x2−16)≥0,2^{3x+9}\bigl(2^{x^2}-16\bigr)-\bigl(2^{x^2}-16\bigr)\ge0, то есть (2x2−16)(23x+9−1)≥0.(2^{x^2}-16)(2^{3x+9}-1)\ge0. Это и есть удобная форма для метода рационализации: разность степеней с одинаковым основанием 2>12>1 имеет тот же знак, что и разность показателей.
  4. Запишем 16=2416=2^4 и 1=201=2^0, тогда (2x2−24)(23x+9−20)≥0  ⟺  (x2−4)(3x+9)≥0.(2^{x^2}-2^4)(2^{3x+9}-2^0)\ge0\;\Longleftrightarrow\;(x^2-4)(3x+9)\ge0.
  5. Разложим на множители: x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4=(x-2)(x+2), а 3x+9=3(x+3)3x+9=3(x+3). Знак 3 не влияет, получаем кубическое неравенство: (x−2)(x+2)(x+3)≥0.(x-2)(x+2)(x+3)\ge0.
  6. Решаем методом интервалов: корни x=−3, x=−2, x=2x=-3,\,x=-2,\,x=2. Определяем знак произведения на каждом промежутке (при переходе через каждый корень знак меняется, так как все множители в первой степени):
  • x<−3x<-3: произведение отрицательно;
  • −3≤x≤−2-3\le x\le-2: положительно;
  • −2≤x≤2-2\le x\le2: отрицательно;
  • x≥2x\ge2: положительно.
  1. Выбираем промежутки, где произведение ≥0\ge0: x∈[−3;−2]∪[2;+∞)x\in[-3;-2]\cup[2;+\infty).

Типичные ошибки

  • Ошибка при преобразовании 32⋅2x2+3x32\cdot2^{x^2+3x} к общему знаменателю 16, что приводит к неверному разложению на множители.
  • Неправильное применение метода рационализации — забывают, что переход от разности степеней к разности показателей верен только при основании больше 1.
  • Ошибки при определении знаков множителей в методе интервалов, особенно при переходе через каждый корень кубического уравнения.
Непонятно?

Похожие задачи