Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Данное неравенство: $3^{2x^{2}}+3^{x^{2}+2x+5}\ge 10\cdot 3^{4x+6}$.

Шаг 1. Так как $3^{4x+6}>0$ для любого $x$, можно поделить обе части на него, не меняя знак неравенства. Показатели степеней при этом вычитаются: $$3^{2x^{2}-4x-6}+3^{x^{2}-2x-1}\ge 10.$$

Шаг 2. Заметим, что $2x^{2}-4x-6=2(x^{2}-2x-1)-4$. Значит $$3^{2x^{2}-4x-6}=3^{2(x^{2}-2x-1)}\cdot 3^{-4}=\dfrac{\left(3^{x^{2}-2x-1}\right)^{2}}{81}.$$ Вводим замену $t=3^{x^{2}-2x-1}>0$. Неравенство принимает вид $$\dfrac{t^{2}}{81}+t\ge 10\;\Longleftrightarrow\;t^{2}+81t-810\ge 0\;\Longleftrightarrow\;(t-9)(t+90)\ge 0.$$

Шаг 3. Поскольку $t>0$, множитель $t+90>0$ всегда, поэтому знак произведения определяется вторым множителем: $t\ge 9$.

Шаг 4. Возвращаемся к $x$: $3^{x^{2}-2x-1}\ge 3^{2}$. Так как основание $3>1$, показательная функция монотонно возрастает, значит неравенство равносильно неравенству показателей: $$x^{2}-2x-1\ge 2\;\Longleftrightarrow\;x^{2}-2x-3\ge 0\;\Longleftrightarrow\;(x-3)(x+1)\ge 0.$$

Шаг 5. Решаем квадратное неравенство методом парабол: корни $x=-1,\;x=3$, ветви вверх, неравенство $\ge0$ выполняется вне корней (включая их): $$x\le -1\ \text{или}\ x\ge 3.$$

Таким образом решение исходного неравенства: $x\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$.