Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Обозначим $y=\dfrac{x^2+x-3}{x+1}$. Заметим, что $x-\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{x^2+x-3}{x+1}=y$, то есть степени в обеих частях неравенства совпадают.

Так как $2{,}5=\dfrac{5}{2}$, неравенство принимает вид $$\left(\frac{5}{3}\right)^{y}\le \frac{2}{3}\left(\frac{5}{2}\right)^{y}.$$

Разделим обе части на положительное выражение $\left(\frac{5}{2}\right)^{y}$ — знак неравенства не меняется: $$\left(\frac{5}{3}:\frac{5}{2}\right)^{y}\le \frac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{2}{3}\right)^{y}\le \frac{2}{3}.$$

Основание $\frac{2}{3}<1$, значит показательная функция убывающая, и неравенство $a^y\le a^1$ при $0<a<1$ равносильно $y\ge 1$: $$\frac{x^2+x-3}{x+1}\ge 1.$$

Переносим единицу и приводим к общему знаменателю: $$\frac{x^2+x-3}{x+1}-1\ge 0 \;\Rightarrow\; \frac{x^2+x-3-x-1}{x+1}\ge 0 \;\Rightarrow\; \frac{x^2-4}{x+1}\ge 0.$$

Нули числителя: $x=\pm2$; ноль знаменателя (точка разрыва): $x=-1$ — исключается, так как в исходном выражении $x+1$ стоит в знаменателе.

Метод интервалов для $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+1}$ с учётом точек $-2,-1,2$ даёт знаки: $(-\infty;-2)$ — минус, $(-2;-1)$ — плюс, $(-1;2)$ — минус, $(2;+\infty)$ — плюс.

Неравенство $\ge0$ выполняется на $[-2;-1)\cup[2;+\infty)$ (точки $-2$ и $2$ включаем, так как там выражение равно нулю, а $x=-1$ исключаем).