Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Шаг 1. Раскрываем степени. $$4^{x-3}=(2^{x-3})^2,\qquad 2^{x-3}(16-x^2)=16\cdot2^{x-3}-2^{x-3}x^2.$$ Подставим в неравенство: $$4^{x-3}-16\cdot2^{x-3}+2^{x-3}x^2-16x^2\ge0.$$ Почему так делаем: хотим привести всё к переменной $t=2^{x-3}$, чтобы удобно сгруппировать члены.

Шаг 2. Группируем слагаемые парами. $$\big(4^{x-3}+2^{x-3}x^2\big)-\big(16\cdot2^{x-3}+16x^2\big)\ge0,$$ $$2^{x-3}\big(2^{x-3}+x^2\big)-16\big(2^{x-3}+x^2\big)\ge0.$$ В каждой скобке выносим общий множитель $2^{x-3}+x^2$.

Шаг 3. Выносим общий множитель. $$\big(2^{x-3}+x^2\big)\big(2^{x-3}-16\big)\ge0.$$ Это произведение двух множителей, знак которого зависит от знаков каждого.

Шаг 4. Анализируем первый множитель. $2^{x-3}>0$ для любого $x$, а $x^2\ge0$. Значит сумма $2^{x-3}+x^2>0$ всегда (она равна нулю только если оба слагаемых равны нулю, но $2^{x-3}$ никогда не равен нулю). Поэтому этот множитель всегда положителен и не влияет на знак произведения — можно поделить обе части неравенства на него, сохранив знак неравенства.

Шаг 5. Решаем оставшееся неравенство. $$2^{x-3}-16\ge0\;\Rightarrow\;2^{x-3}\ge2^4\;\Rightarrow\;x-3\ge4\;\Rightarrow\;x\ge7.$$ Поскольку показательная функция $2^t$ возрастает, знак неравенства при сравнении показателей сохраняется.

Ответ: $x\in[7;+\infty)$.