Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Перепишем степени через одно основание 2. Так как $0{,}5^{x-3}=2^{-(x-3)}=2^{3-x}=8\cdot2^{-x}$, а $2^{x+1}=2\cdot2^{x}$, неравенство принимает вид: $$2\cdot2^{x}+8\cdot2^{-x}\ge17.$$ Почему это удобно: теперь всё выражается через одну переменную $2^{x}$.

Умножим обе части на положительное число $2^{x}$ (знак неравенства не меняется): $$2\cdot2^{2x}-17\cdot2^{x}+8\ge0.$$

Введём замену $t=2^{x}>0$. Получаем квадратное неравенство: $$2t^{2}-17t+8\ge0.$$

Найдём корни соответствующего уравнения. По теореме Виета или разложением получаем $t_1=\dfrac12,\ t_2=8$, значит $$2t^{2}-17t+8=(2t-1)(t-8).$$

Парабола с положительным старшим коэффициентом больше или равна нулю вне интервала между корнями, то есть при $$t\le\frac12\quad\text{или}\quad t\ge8.$$

Возвращаемся к переменной $x$, используя $t=2^{x}$ и монотонность показательной функции с основанием $2>1$: $$2^{x}\le\frac12=2^{-1}\ \Rightarrow\ x\le-1;$$ $$2^{x}\ge8=2^{3}\ \Rightarrow\ x\ge3.$$

Объединяя оба случая, получаем решение неравенства.