Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

1. Раскрываем степени. Заметим, что $3^{x+2}=9\cdot3^{x}$, а $3^{2-x}=\dfrac{9}{3^{x}}$. Подставляем в неравенство: $$\left(9\cdot3^{x}+\dfrac{9}{3^{x}}\right)x^{2}\ge \dfrac{45x^{2}}{2}.$$

2. Приводим к общему знаменателю $3^{x}$ (он всегда положителен, поэтому знак неравенства не меняется при умножении/делении на него): $$\dfrac{9x^{2}\left(3^{2x}+1\right)}{3^{x}}\ge \dfrac{45x^{2}}{2}.$$ Умножим обе части на 2 и перенесём всё влево: $$\dfrac{\left(2\cdot3^{2x}-5\cdot3^{x}+2\right)x^{2}}{3^{x}}\ge0.$$

3. Замена $t=3^{x}$. Квадратный трёхчлен $2t^{2}-5t+2$ разлагаем на множители: корни $t=2$ и $t=\tfrac12$, значит $$2t^{2}-5t+2=(t-2)(2t-1).$$ Поэтому неравенство принимает вид $$\dfrac{(3^{x}-2)(2\cdot3^{x}-1)x^{2}}{3^{x}}\ge0.$$

4. Убираем знаменатель. Так как $3^{x}>0$ для всех $x$, знак дроби совпадает со знаком числителя, значит неравенство равносильно $$(3^{x}-2)(2\cdot3^{x}-1)x^{2}\ge0.$$

5. Случай $x=0$. Тогда $x^{2}=0$, всё выражение равно $0$, неравенство $\ge0$ выполняется — значит $x=0$ входит в ответ.

6. Случай $x\ne0$. Тогда $x^{2}>0$, и знак произведения зависит только от $$(3^{x}-2)(2\cdot3^{x}-1)\ge0.$$ Поскольку функция $t=3^{x}$ строго возрастает, это неравенство по $t$ (парабола с положительным коэффициентом при $t^2$, корни $t=\tfrac12$ и $t=2$) выполняется при $t\le\tfrac12$ или $t\ge2$, то есть $$3^{x}\le\dfrac12 \quad\text{или}\quad 3^{x}\ge2.$$ Логарифмируя по основанию 3 (функция монотонна, знак сохраняется): $$x\le-\log_{3}2 \quad\text{или}\quad x\ge\log_{3}2.$$

7. Объединяем результаты. Точка $x=0$ лежит между $-\log_3 2$ и $\log_3 2$, поэтому её нужно добавить отдельно к найденным полуинтервалам: $$x\in(-\infty;-\log_{3}2]\cup\{0\}\cup[\log_{3}2;+\infty).$$