Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Так как обе части неравенства положительны, можно прологарифмировать по основанию 3 (логарифм — возрастающая функция, знак неравенства сохраняется): $$\log_3\left(3^{x^2}\cdot5^{x-1}\right)\ge\log_3 3.$$ По свойству логарифма произведения и степени: $$\log_3 3^{x^2}+\log_3 5^{x-1}\ge 1 \;\Rightarrow\; x^2+(x-1)\log_3 5\ge 1.$$ Раскрываем скобки и переносим всё в одну сторону: $$x^2+x\log_3 5-(\log_3 5+1)\ge 0.$$ Это квадратное неравенство относительно $x$ с параметром $\log_3 5$. Проверим $x=1$: $1+\log_3 5-\log_3 5-1=0$ — верно, значит $x=1$ — корень соответствующего уравнения. По теореме, обратной теореме Виета, произведение корней равно свободному члену (с обратным знаком у коэффициента при $x^2=1$): $x_1x_2=-(\log_3 5+1)$. Так как $x_1=1$, то $x_2=-(\log_3 5+1)$. Коэффициент при $x^2$ положителен, значит парабола направлена вверх, и неравенство $\ge0$ выполняется вне отрезка между корнями (или на самих корнях). Так как $-(\log_3 5+1)<1$, получаем: $$x\le -(\log_3 5+1)\quad\text{или}\quad x\ge 1.$$