ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Показательные неравенства

Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Неравенства первой и второй степени относительно показательной функцииВведение замены

Решите неравенство 9 в степени левая круглая скобка 4x минус x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 36 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4x минус x в квадрате минус 1 правая круглая скобка плюс 243 больше или равно 0.

В подтеме 43 задач
Разбор
Главная идея: Замена t=34x−x2−1t=3^{4x-x^2-1} сводит показательное неравенство к квадратному относительно tt, которое решается разложением на множители, после чего возвращаемся к исходной переменной через монотонность показательной функции.

Обозначим t=34x−x2−1t=3^{4x-x^2-1}, тогда 94x−x2−1=t29^{4x-x^2-1}=t^2, и неравенство превращается в квадратное относительно tt: t2−36t+243≥0.t^2-36t+243\ge0. Разложим левую часть на множители (корни находим по формуле или подбором): t2−36t+243=(t−9)(t−27)t^2-36t+243=(t-9)(t-27). Значит неравенство равносильно (t−9)(t−27)≥0  ⟺  t≤9 или t≥27,(t-9)(t-27)\ge0\iff t\le9\ \text{или}\ t\ge27, так как парабола с ветвями вверх неотрицательна вне промежутка между корнями.

Теперь возвращаемся к xx, используя, что t=34x−x2−1t=3^{4x-x^2-1} — возрастающая функция, поэтому неравенство t≤at\le a равносильно 4x−x2−1≤log⁡3a4x-x^2-1\le\log_3 a.

  1. t≤9=32t\le9=3^2: 4x−x2−1≤2  ⟺  x2−4x+3≥0  ⟺  (x−1)(x−3)≥0  ⟺  x≤14x-x^2-1\le2\iff x^2-4x+3\ge0\iff (x-1)(x-3)\ge0\iff x\le1 или x≥3x\ge3.

  2. t≥27=33t\ge27=3^3: 4x−x2−1≥3  ⟺  x2−4x+4≤0  ⟺  (x−2)2≤0  ⟺  x=24x-x^2-1\ge3\iff x^2-4x+4\le0\iff (x-2)^2\le0\iff x=2.

Объединяя оба случая (они соответствуют исходному «или»), получаем множество решений x≤1x\le1, x=2x=2, x≥3x\ge3.

Типичные ошибки

  • Забывают, что 9u=(3u)2=t29^{u}=(3^u)^2=t^2, и пытаются решать неравенство напрямую без замены.
  • При переходе от неравенства для tt к неравенству для показателя путают знак неравенства, не учитывая возрастание функции 3u3^u.
  • Не проверяют полученные интервалы, забывая объединить оба случая (t≤9 и t≥27) в итоговый ответ.
Непонятно?

Похожие задачи