Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Введём замену $t=9^{x}-2\cdot3^{x}$. Тогда исходное неравенство принимает вид квадратного относительно $t$: $t^{2}-62t-63\ge0$.

Разложим на множители: $t^{2}-62t-63=(t-63)(t+1)$. Парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $(t-63)(t+1)\ge0$ выполняется при $t\ge63$ или $t\le-1$.

Возвращаемся к переменной $x$, обозначив $y=3^{x}>0$ (так как показательная функция всегда положительна). Тогда $t=y^{2}-2y$.

Первый случай: $y^{2}-2y\ge63 \Rightarrow y^{2}-2y-63\ge0 \Rightarrow (y-9)(y+7)\ge0$. Так как $y>0$, условие $y\le-7$ невозможно, остаётся $y\ge9$, то есть $3^{x}\ge3^{2}$, откуда $x\ge2$ (показательная функция возрастает).

Второй случай: $y^{2}-2y\le-1 \Rightarrow y^{2}-2y+1\le0 \Rightarrow (y-1)^{2}\le0$. Квадрат неотрицателен, значит равенство возможно только при $y=1$, то есть $3^{x}=1 \Rightarrow x=0$.

Объединяя оба случая (совокупность), получаем решение исходного неравенства: $x=0$ или $x\ge2$.