Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Приведём все степени к общему множителю $9^{x-3}$.

Заметим: $9^{x-2}=9^{x-3}\cdot 9$, а $9^{x-1}=9^{x-3}\cdot 9^2=9^{x-3}\cdot 81$ — это следует из свойства степеней $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$.

Подставим в неравенство: $$9^{x-3}-9^{x-3}\cdot9+9^{x-3}\cdot81>511.$$

Выносим общий множитель $9^{x-3}$ за скобку: $$9^{x-3}(1-9+81)>511.$$

Считаем в скобке: $1-9+81=73$. Получаем $$9^{x-3}\cdot73>511.$$

Делим обе части на 73 (положительное число, знак не меняется): $$9^{x-3}>\dfrac{511}{73}=7.$$

Так как основание степени $9>1$, показательная функция возрастает, поэтому от неравенства для степеней можно перейти к неравенству для показателей через логарифм по основанию 9 (это равносильное преобразование, поскольку логарифмическая функция с основанием больше 1 монотонно возрастает): $$x-3>\log_9 7.$$

Переносим 3 в правую часть: $$x>3+\log_9 7.$$

Таким образом решением неравенства является промежуток $(3+\log_9 7;\,+\infty)$.