Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Заметим, что показатель у второго слагаемого можно выразить через показатель первого и третьего: $\dfrac{5x+3}{x+1}=2\cdot\dfrac{x}{x+1}+3$, а показатель справа — это $2\cdot\dfrac{x}{x+1}$. Значит неравенство переписывается как $$2^{t}-2^{2t+3}+8\le 2^{2t},\quad t=\dfrac{x}{x+1}.$$ Введём замену $y=2^{t}>0$ (степень всегда положительна). Тогда $2^{2t+3}=8y^2$, $2^{2t}=y^2$, и неравенство принимает вид $$y-8y^2+8\le y^2.$$ Переносим всё в одну сторону: $9y^2-y-8\ge0$. Раскладываем квадратный трёхчлен на множители: корни находим по теореме Виета или через дискриминант — получаем $y=1$ и $y=-\dfrac{8}{9}$, значит $9y^2-y-8=(y-1)(9y+8)$. Неравенство $(y-1)(9y+8)\ge0$ с учётом $y>0$ (тогда $9y+8>0$ всегда) даёт единственное условие $y\ge1$. Возвращаемся к исходной переменной: $2^{t}\ge1=2^0$. Так как показательная функция с основанием 2 возрастает, это равносильно $t\ge0$, то есть $\dfrac{x}{x+1}\ge0$. Решаем это дробно-рациональное неравенство методом интервалов: нули числителя и знаменателя — $x=0$ и $x=-1$ (последняя точка исключается, так как знаменатель не может быть нулём). Отмечаем точки на числовой прямой, определяем знаки на промежутках и получаем $x\in(-\infty;-1)\cup[0;+\infty)$.