Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Введём замену $t=2^{2x}>0$. Тогда $2^{2x+1}=2t$, а $0,5^{2x+3}=2^{-(2x+3)}=\dfrac{1}{8t}$, поэтому $96\cdot0,5^{2x+3}=\dfrac{12}{t}$.

Числитель дроби принимает вид $2t-\dfrac{12}{t}+2=\dfrac{2t^{2}+2t-12}{t}=\dfrac{2(t+3)(t-2)}{t}$.

Поскольку $t=2^{2x}>0$, множители $t$ и $t+3$ всегда положительны, значит знак всего числителя совпадает со знаком $(t-2)=2^{2x}-2$.

Таким образом исходное неравенство равносильно $\dfrac{2^{2x}-2}{x+1}\leqslant0$, при $x\neq-1$ (область определения).

Функция $2^{2x}$ монотонно возрастает, поэтому $2^{2x}-2\leqslant0 \iff 2x\leqslant1 \iff x\leqslant0,5$, а $2^{2x}-2>0$ при $x>0,5$.

Применим метод интервалов к $\dfrac{2^{2x}-2}{x+1}$, отметив точки $x=-1$ (запрет) и $x=0,5$ (ноль числителя):

• при $x<-1$: числитель отрицателен, знаменатель отрицателен — дробь положительна;
• при $-1<x<0,5$: числитель отрицателен, знаменатель положителен — дробь отрицательна (подходит);
• при $x=0,5$: числитель равен нулю — дробь равна нулю (подходит, знаменатель не равен нулю);
• при $x>0,5$: числитель положителен, знаменатель положителен — дробь положительна.

Следовательно, неравенство выполняется при $-1<x\leqslant0,5$, то есть $x\in(-1;0,5]$.