Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Приведём обе части к одному основанию 5. Замечаем, что $25=5^{2}$, а $0{,}2=5^{-1}$.

Преобразуем левую часть: $25^{x^{2}-2x+10}=5^{2(x^{2}-2x+10)}=5^{2x^{2}-4x+20}$.

Преобразуем правую часть: $0{,}2^{2x^{2}-4x-80}=5^{-1\cdot(2x^{2}-4x-80)}=5^{-2x^{2}+4x+80}$.

Перенесём вторую степень в неравенство: исходное неравенство $25^{x^{2}-2x+10}\le 0{,}2^{2x^{2}-4x-80}$ равносильно $$5^{2x^{2}-4x+20}\le 5^{-2x^{2}+4x+80}.$$

Поскольку основание $5>1$, показательная функция $5^{t}$ строго возрастает, поэтому сравнение степеней сохраняет знак неравенства между показателями: $$2x^{2}-4x+20\le -2x^{2}+4x+80.$$

Переносим всё в одну сторону: $$4x^{2}-8x-60\le 0 \;\Longrightarrow\; x^{2}-2x-15\le 0.$$

Решаем квадратное неравенство через корни трёхчлена: $x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3)$, корни $x=5$ и $x=-3$.

Парабола $x^{2}-2x-15$ имеет положительный старший коэффициент, значит она отрицательна (или равна нулю) между корнями: $$(x-5)(x+3)\le 0 \;\Longrightarrow\; -3\le x\le 5.$$

Таким образом множество решений — отрезок $[-3;5]$.