Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Заметим, что $2^{1-x^2}=\dfrac{2}{2^{x^2}}$, поэтому неравенство перепишем как $2^{x^2}+\dfrac{18}{2^{x^2}}\ge 19$.

Введём замену $t=2^{x^2}$. Так как $x^2\ge 0$, показательная функция даёт $t\ge 1$.

Неравенство становится $t+\dfrac{18}{t}\ge19$. Умножая на положительное $t$, получаем $t^2-19t+18\ge0$, то есть $(t-1)(t-18)\ge0$, откуда $t\le1$ или $t\ge18$.

Объединяя с условием $t\ge1$, остаются два случая: $t=1$ или $t\ge18$.

1. $t=1$: $2^{x^2}=1\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0$.

2. $t\ge18$: $2^{x^2}\ge18$. Прологарифмируем по основанию 2 (функция возрастает, знак сохраняется): $x^2\ge\log_2 18=\log_2(2\cdot9)=1+2\log_2 3$.

Отсюда $x\le-\sqrt{1+2\log_2 3}$ или $x\ge\sqrt{1+2\log_2 3}$.

Объединяя все найденные значения $x$, получаем итоговое множество решений.