Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Шаг 1. Выделяем общий множитель. Заметим, что $5^{3x+1}=5^{3x-1}\cdot 5^{2}=25\cdot 5^{3x-1}$ — используем свойство степеней $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$. Тогда неравенство $$5^{3x-1}-5^{3x+1}\le -72$$ переписывается как $$5^{3x-1}-25\cdot 5^{3x-1}\le -72.$$

Шаг 2. Выносим общий множитель за скобку. $$5^{3x-1}(1-25)\le -72,$$ то есть $$-24\cdot 5^{3x-1}\le -72.$$

Шаг 3. Делим на отрицательное число. Делим обе части на $-24$ — при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $$5^{3x-1}\ge 3.$$

Шаг 4. Переходим к логарифмам. Показательная функция $5^t$ строго возрастает, поэтому неравенство $5^{t}\ge 3$ равносильно $t\ge\log_5 3$ (логарифмируем обе части по основанию 5, сохраняя знак неравенства, так как основание больше 1). Получаем $$3x-1\ge \log_5 3.$$

Шаг 5. Находим x. Добавляем 1 к обеим частям и делим на 3 (деление на положительное число не меняет знак неравенства): $$x\ge \dfrac{\log_5 3+1}{3}.$$

Таким образом решением является луч $x\ge \dfrac{\log_5 3+1}{3}$.