Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные неравенства

Перепишем левую часть, используя $6^x=2^x\cdot 3^x$: $$6^x-4\cdot3^x-2^x+4=3^x\cdot2^x-4\cdot3^x-(2^x-4).$$ Вынесем $3^x$ из первых двух слагаемых: $$=3^x(2^x-4)-(2^x-4)=(3^x-1)(2^x-4).$$ Почему так удобно: получилось произведение двух множителей, каждый зависит только от одной степени, и знак произведения легко определить по знакам множителей.

Теперь неравенство принимает вид $$(3^x-1)(2^x-4)\le 0.$$

Заметим, что $1=3^0$ и $4=2^2$, поэтому $$3^x-1=3^x-3^0,\qquad 2^x-4=2^x-2^2.$$ Поскольку показательные функции $3^t$ и $2^t$ строго возрастают, знак разности степеней совпадает со знаком разности показателей: $$3^x-3^0>0 \iff x>0,\qquad 2^x-2^2>0 \iff x>2.$$ Следовательно множители равны по знаку соответствующим разностям $x-0$ и $x-2$ (с сохранением знака), и неравенство сводится к $$x(x-2)\le 0.$$

Это квадратное неравенство с корнями $x=0$ и $x=2$, парабола направлена вверх, значит она $\le 0$ между корнями: $$0\le x\le 2.$$

Таким образом решение исходного неравенства — отрезок $[0;2]$.