Задание 21 ЕГЭ, математика (база): Текстовые задачи

Обозначим скорости поедания: пусть Маша ест печенье со скоростью $v$, тогда Медведь ест любую еду со скоростью $3v$.

Шаг 1. Поскольку варенья съедено поровну, а Медведь ест в три раза быстрее Маши, он потратил на варенье в три раза меньше времени. Если Маша ела варенье время $t_М$, то Медведь ел варенье время $t_м = \frac{t_М}{3}$.

Шаг 2. Все время с начала до конца одинаковое для обоих: $T = t_М + t_{М,печ} = t_м + t_{м,печ}$, где $t_{М,печ}$ и $t_{м,печ}$ — время, потраченное каждым на печенье.

Шаг 3. Пока Маша ела варенье (время $t_М$), Медведь ел печенье со скоростью $3v$. Он съел печенья: $3v \cdot t_М$.

Шаг 4. Маша ела печенье со скоростью $v$ за время $t_{М,печ}$ и съела: $v \cdot t_{М,печ}$ печений.

Шаг 5. Поскольку общее время одинаковое: $t_М + t_{М,печ} = t_м + t_{м,печ}$. Подставляя $t_м = \frac{t_М}{3}$: $$t_М + t_{М,печ} = \frac{t_М}{3} + t_{м,печ}$$ $$t_{М,печ} - t_{м,печ} = -\frac{2t_М}{3}$$

Это означает, что пока Маша ела варенье, общее количество съеденного печенья = $(3v \cdot t_М) + (v \cdot (\frac{2t_М}{3})) = 3v \cdot t_М + \frac{2v \cdot t_М}{3}$.

Проще: Маша съела $x$ печений, Медведь съел в 9 раз больше (ест в 3 раза быстрее и ел в 3 раза дольше на печенье). Итого: $x + 9x = 120$, откуда $x = 12$.

Медведь съел: $9 \cdot 12 = 108$ печений.