Задание 21 ЕГЭ база: задачи на смекалку — числа, планиметрия, текстовые задачи

Подтемы

Что проверяет задание

Задание 21 в ЕГЭ по математике базового уровня — это задача на логику и смекалку, которая не привязана к одной теме школьной программы. Она проверяет умение:

анализировать условие и переводить его на язык математики (в уравнения, неравенства, оценки);
работать с целыми и натуральными числами, их свойствами (делимость, чётность, границы);
применять простые факты планиметрии для оценки размеров и расположения фигур;
проводить логические рассуждения методом оценки «сверху» и «снизу», а также подбором с проверкой.

Главная особенность задания — здесь не нужен сложный аппарат (производные, тригонометрия, стереометрия). Нужна аккуратность, умение составлять неравенства и делать выводы из ограничений.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание 21 — это текстовая задача с числовым ответом, без развёрнутого решения (в отличие от письменной части профильного уровня). Формулировки обычно такие:

задачи о числах: «загадали число, выполнили над ним операции, получили результат — найдите исходное число»;
задачи с таблицами и суммами: «в таблице расставлены числа с заданными условиями на суммы по строкам и столбцам — найдите количество строк/столбцов»;
задачи на среднее арифметическое: «известно среднее нескольких чисел и среднее с добавленным числом — найдите это число»;
планиметрические задачи «на смекалку»: про периметры, площади, разбиения фигур на части с ограничениями.

Задание оценивается в 1 балл — засчитывается только конечный числовой ответ. Промежуточные вычисления не проверяются, поэтому важно не допустить арифметической ошибки на последнем шаге.

Что нужно знать

Натуральные числа — это числа $1, 2, 3, 4, \dots$ (иногда включают и $0$ в зависимости от контекста задачи, но в ЕГЭ база обычно натуральные числа начинаются с $1$ ).
Целые числа — натуральные, их противоположные и $0$ .
Свойства неравенств: если $a < b$ и $c < d$ , то $a + c < b + d$ ; при умножении на положительное число знак неравенства сохраняется, при умножении на отрицательное — меняется.
Среднее арифметическое $n$ чисел: $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$ , отсюда сумма чисел равна $S = n \cdot \bar{x}$ .
Формула суммы всех чисел таблицы: сумма по столбцам равна сумме по строкам, то есть общая сумма чисел таблицы считается двумя способами и должна совпадать.
Если сумма каждой строки лежит в границах $m < S_{\text{строки}} < M$ , а всего строк $k$ , то общая сумма $T$ удовлетворяет неравенству $km < T < kM$ , откуда можно оценить $k$ .
Основные формулы планиметрии: периметр прямоугольника $P = 2(a+b)$ , площадь $S = ab$ ; периметр и площадь квадрата $P = 4a$ , $S = a^2$ ; сумма углов треугольника равна $180^\circ$ ; площадь треугольника $S = \dfrac{1}{2}ah$ .
Свойства делимости: число делится на $n$ , если остаток от деления на $n$ равен $0$ ; чтобы найти количество строк/столбцов, часто нужно искать делители чисел, входящих в условие.
Метод двойного неравенства (оценки): если неизвестное целое число $x$ удовлетворяет $a < x < b$ , где $b - a$ невелико, единственное подходящее целое значение находится перебором.

Методы решения

1. Метод составления уравнения (задачи о числах). Если известны последовательные операции над загаданным числом, записываем их как алгебраическое выражение и решаем уравнение. Мини-пример: Загадали число $x$ , умножили на 3, прибавили 5, получили 20. Уравнение: $3x + 5 = 20 \Rightarrow x = 5$ .

2. Метод двойной оценки суммы (таблицы, среднее арифметическое). Когда есть ограничение на сумму по строкам/столбцам, считаем общую сумму двумя способами: через столбцы (точное число) и через строки (через неравенство). Из совпадения получаем оценку на количество строк. Мини-пример: Сумма по столбцам равна $50$ , сумма каждой строки от $4$ до $6$ (не включая границы), строк $k$ : $4k < 50 < 6k$ , откуда $8{,}3 < k < 12{,}5$ , то есть $k \in \{9,10,11,12\}$ — далее уточняем по дополнительным условиям.

3. Метод через формулу среднего арифметического. Переводим условие о среднем в равенство суммы чисел, затем ищем недостающее число через разность сумм. Мини-пример: Среднее пяти чисел равно $6$ , сумма $= 30$ . После добавления шестого числа среднее стало $7$ , сумма $=42$ . Шестое число $=42-30=12$ .

4. Метод перебора с учётом ограничений (границы натуральных чисел). Если числа $A$ , $B$ , $C$ ограничены небольшим интервалом (например, от 6 до 10), а итоговое уравнение зависит от них, иногда удобно перебрать варианты, но чаще выгоднее сгруппировать переменные так, чтобы получить оценку для искомого числа напрямую. Мини-пример: Если $6 < A < 10$ , то $A$ может быть $7, 8$ или $9$ — используем это для сужения диапазона решений уравнения.

5. Метод геометрической оценки (планиметрия на смекалку). Когда нужно найти размеры фигуры при ограничениях на периметр или площадь, выражаем одну величину через другую и используем неравенства целочисленности или конкретные геометрические свойства (например, что стороны — целые числа). Мини-пример: Периметр прямоугольника равен $18$ , стороны — целые числа больше $2$ . Тогда $a+b=9$ , при $a,b>2$ подходят пары $(3,6), (4,5)$ .

Алгоритм решения по шагам

Внимательно прочитать условие. Выделить, что дано (числа, суммы, средние, геометрические величины) и что нужно найти.
Ввести обозначения. Обозначить искомую величину буквой (например, $x$ — загаданное число, $k$ — число строк).
Перевести условие в математические выражения. Составить уравнение, систему уравнений или неравенство, отражающее все условия задачи.
Если есть ограничения (границы значений), выразить их как неравенства. Использовать метод двойной оценки, если нужно найти целое число из диапазона.
Решить уравнение/неравенство. Если получено неравенство с узким диапазоном, перебрать целые значения и проверить, какие из них удовлетворяют всем условиям задачи (в том числе дополнительным целочисленным ограничениям).
Проверить полученный ответ на соответствие всем условиям задачи. Подставить обратно в исходные данные.
Записать окончательный ответ — как правило, это одно число.

Разбор примеров

Пример 1. Про натуральные числа $A$ , $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше $6$ , но меньше $10$ . Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$ , потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли $C$ . Получилось $186$ . Какое число было загадано?

Решение.

Шаг 1. Обозначим загаданное число как $x$ . По условию операций: $x \cdot A + B - C = 186$ .

Шаг 2. Из условия $6 < A < 10$ , $6 < B < 10$ , $6 < C < 10$ , значит каждое из чисел $A$ , $B$ , $C$ может быть равно $7$ , $8$ или $9$ (натуральные числа строго между $6$ и $10$ ).

Шаг 3. Заметим, что величина $B - C$ ограничена: минимальное значение $B - C$ при $B=7$ , $C=9$ равно $7-9=-2$ , максимальное при $B=9$ , $C=7$ равно $9-7=2$ . Значит $B - C \in [-2, 2]$ .

Шаг 4. Тогда $xA = 186 - (B - C)$ , то есть $xA \in [184, 188]$ .

Шаг 5. Переберём возможные значения $A$ : $A=7$ , $A=8$ , $A=9$ .

Если $A = 8$ : $x = \dfrac{186 - (B-C)}{8}$ . Чтобы $x$ было целым, нужно $186-(B-C)$ делилось на $8$ . При $B-C=2$ : $184/8=23$ — целое! Проверим: $B=9$ , $C=7$ (оба входят в диапазон). Подходит.
Проверим другие варианты $A$ для полноты: при $A=7$ получаем $x=\dfrac{186-(B-C)}{7}$ , при $B-C=-2$ : $188/7$ — не целое; другие значения $B-C$ также не дают целого $x$ с учётом ограничения $x$ натуральное и достаточно большое. При $A=9$ : $x=\dfrac{186-(B-C)}{9}$ , при $B-C=-3$ (недопустимо, максимум $-2$ ), при $B-C=0$ : $186/9$ — не целое. Другие варианты также не подходят.

Шаг 6. Единственный подходящий вариант: $A=8$ , $B=9$ , $C=7$ , $x=23$ .

Шаг 7. Проверка: $23 \cdot 8 + 9 - 7 = 184 + 9 - 7 = 186$ . Верно.

Ответ: 23.

Пример 2. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку вписали натуральное число так, что сумма всех чисел в первом столбце равна $72$ , во втором — $81$ , в третьем — $91$ , а сумма чисел в каждой строке больше $13$ , но меньше $16$ . Сколько всего строк в таблице?

Решение.

Шаг 1. Обозначим количество строк как $k$ .

Шаг 2. Общая сумма всех чисел таблицы, посчитанная по столбцам: $S = 72 + 81 + 91 = 244$ .

Шаг 3. Та же сумма, посчитанная по строкам: каждая строка даёт сумму строго между $13$ и $16$ , то есть сумма строки может быть $14$ или $15$ (целые числа между $13$ и $16$ , не включая границы).

Шаг 4. Значит общая сумма удовлетворяет неравенству: $14k < S < 16k$ , то есть $14k < 244 < 16k$ .

Шаг 5. Из первого неравенства: $k > \dfrac{244}{16} = 15{,}25$ , значит $k \geq 16$ . Из второго неравенства: $k < \dfrac{244}{14} \approx 17{,}43$ , значит $k \leq 17$ .

Шаг 6. Таким образом $k \in \{16, 17\}$ . Проверим оба варианта на возможность реализации.

При $k=16$ : сумма строк должна быть $244$ , при этом каждая строка даёт $14$ или $15$ . Если все строки дают $15$ : сумма $=240$ ; если все $14$ : сумма $=224$ . Диапазон возможных сумм при $16$ строках: от $224$ до $240$ . Число $244$ не попадает в этот диапазон — значит $k=16$ не подходит.
При $k=17$ : диапазон сумм от $14\cdot17=238$ до $15\cdot17=255$ . Число $244$ входит в этот диапазон, значит подходит.

Шаг 7. Проверим точнее: если $m$ строк дают сумму $15$ , а $(17-m)$ строк дают сумму $14$ , то $15m + 14(17-m) = 244 \Rightarrow m + 238 = 244 \Rightarrow m = 6$ . Получаем целое неотрицательное решение — то есть такая расстановка возможна.

Ответ: 17.

Пример 3. Среднее арифметическое шести различных натуральных чисел равно $8$ . Среднее арифметическое этих чисел и седьмого числа равно $9$ . Чему равно седьмое число?

Решение.

Шаг 1. По формуле среднего арифметического сумма первых шести чисел: $S_6 = 6 \cdot 8 = 48$ .

Шаг 2. После добавления седьмого числа $x$ среднее становится $9$ при количестве чисел $7$ : $\dfrac{S_6 + x}{7} = 9$ .

Шаг 3. Отсюда $S_6 + x = 63$ .

Шаг 4. Подставляем $S_6 = 48$ : $48 + x = 63 \Rightarrow x = 15$ .

Шаг 5. Проверка: сумма семи чисел $=48+15=63$ , среднее $=63/7=9$ — верно.

Ответ: 15.

Типичные ошибки и ловушки

Путаница со строгими и нестрогими неравенствами. Если в условии сказано «больше 6, но меньше 10», это означает $6 < x < 10$ — граничные значения $6$ и $10$ не включаются. Ошибка включения границ часто приводит к неверному диапазону возможных чисел.
Неверный подсчёт общей суммы в задачах с таблицами. Важно помнить, что сумма по столбцам и сумма по строкам — это одна и та же величина, посчитанная разными способами. Если забыть это равенство, легко потерять ключевое уравнение.
Округление вместо точного решения неравенства. При переходе от $km < S < kM$ к границам для $k$ нужно аккуратно определять, включать ли получившееся дробное значение в целую часть (используя знаки $>$ , $<$ , а не $\geq$ , $\leq$ , если неравенство строгое).
Забывчивость о целочисленности. Все переменные (количество строк, само число, суммы) — целые числа. Если промежуточный результат получается дробным, это сигнал, что нужно перебрать соседние целые значения.
Ошибка в формуле среднего арифметического при увеличении количества элементов. Часто путают, на что делить сумму — на старое количество или новое. Важно точно следить, сколько чисел участвует в каждом среднем.
Пропуск проверки ответа. Поскольку в задании оценивается только финальное число, обязательно подставлять найденное значение обратно в условие для проверки — это исключает арифметические ошибки.
Невнимание к слову «различные». Если числа должны быть различными (как в примере с шестью числами), это иногда влияет на возможность конкретной расстановки, хотя в данном типе задач для нахождения седьмого числа это условие не требуется явно использовать, но стоит проверять на разумность.

Как готовиться

Разбирать задачи по типам, а не подряд. Отдельно тренировать задачи о числах (составление уравнений с ограничениями), отдельно — задачи с таблицами и суммами, отдельно — задачи на среднее арифметическое.
Освоить метод двойной оценки. Он встречается почти во всех задачах с ограничениями на сумму — важно уверенно переходить от условия «сумма от $a$ до $b$ » к неравенству и находить целочисленные решения.
Прорешать 15–20 задач разных лет — форматы повторяются, и после практики становится ясно, какие приёмы применять в каждом типе.
Всегда делать проверку. После нахождения ответа подставлять его в исходное условие — это экономит баллы за счёт исключения вычислительных ошибок.
Тренировать быстрый устный счёт. Задание не требует сложных вычислений, но требует аккуратности — важно уверенно работать с делимостью, дробями и простыми уравнениями без калькулятора.
Изучить базовые факты планиметрии. Периметры, площади простых фигур, сумма углов треугольника — этого достаточно для решения геометрических задач на смекалку в этом задании.
Разбирать ошибки после каждой решённой задачи. Особое внимание — на границы неравенств и корректность перевода словесного условия в математическую запись.