Задание 21: Задачи на смекалку

Задание 21 — это текстовая задача с числовым ответом, без развёрнутого решения (в отличие от письменной части профильного уровня). Формулировки обычно такие:

• задачи о числах: «загадали число, выполнили над ним операции, получили результат — найдите исходное число»;
• задачи с таблицами и суммами: «в таблице расставлены числа с заданными условиями на суммы по строкам и столбцам — найдите количество строк/столбцов»;
• задачи на среднее арифметическое: «известно среднее нескольких чисел и среднее с добавленным числом — найдите это число»; …

• Натуральные числа — это числа $1, 2, 3, 4, \dots$ (иногда включают и $0$ в зависимости от контекста задачи, но в ЕГЭ база обычно натуральные числа начинаются с $1$).
• Целые числа — натуральные, их противоположные и $0$.
• Свойства неравенств: если $a < b$ и $c < d$, то $a + c < b + d$; при умножении на положительное число знак неравенства сохраняется, при умножении на отрицательное — меняется.
• Среднее арифметическое $n$ чисел: $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$, отсюда сумма чисел равна $S = n \cdot \bar{x}$.
• Формула суммы всех чисел таблицы: сумма по столбцам равна сумме по строкам, то есть общая сумма чисел таблицы считается двумя способами и должна совпадать.
• Если сумма каждой строки лежит в границах $m < S_{\text{строки}} < M$, а всего строк $k$, то общая сумма $T$ удовлетворяет неравенству $km < T < kM$, откуда можно оценить $k$.
• Основные формулы планиметрии: периметр прямоугольника $P = 2(a+b)$, площадь $S = ab$; периметр и площадь квадрата $P = 4a$, $S = a^2$; сумма углов треугольника равна $180^\circ$; площадь треугольника $S = \dfrac{1}{2}ah$.
• Свойства делимости: число делится на $n$, если остаток от деления на $n$ равен $0$; чтобы найти количество строк/столбцов, часто нужно искать делители чисел, входящих в условие.
• Метод двойного неравенства (оценки): если неизвестное целое число $x$ удовлетворяет $a < x < b$, где $b - a$ невелико, единственное подходящее целое значение находится перебором.

1. Внимательно прочитать условие. Выделить, что дано (числа, суммы, средние, геометрические величины) и что нужно найти.
2. Ввести обозначения. Обозначить искомую величину буквой (например, $x$ — загаданное число, $k$ — число строк).
3. Перевести условие в математические выражения. Составить уравнение, систему уравнений или неравенство, отражающее все условия задачи.
4. Если есть ограничения (границы значений), выразить их как неравенства. Использовать метод двойной оценки, если нужно найти целое число из диапазона.
5. Решить уравнение/неравенство. Если получено неравенство с узким диапазоном, перебрать целые значения и проверить, какие из них удовлетворяют всем условиям задачи (в том числе дополнительным целочисленным ограничениям).
6. Проверить полученный ответ на соответствие всем условиям задачи. Подставить обратно в исходные данные. …