Задание 21 ЕГЭ, математика (база): Текстовые задачи

Обозначим переменные: $x$ — верные ответы, $y$ — неверные ответы ($y \geq 1$ по условию), $z$ — без ответа.

Система уравнений:

• Всего вопросов: $x + y + z = 25$
• Сумма очков: $7x - 10y + 0z = 42$

Упростим второе уравнение: $$7x - 10y = 42$$ $$10y = 7x - 42 = 7(x - 6)$$

Так как левая часть делится на 7, а $\gcd(7, 10) = 1$, то $y$ должно быть кратно 7: $y = 7k$ для натурального $k \geq 1$.

Подставляем $y = 7k$: $$10 \cdot 7k = 7(x - 6)$$ $$10k = x - 6$$ $$x = 10k + 6$$

Проверим допустимые значения $k$:

При $k = 1$: $y = 7$, $x = 16$

• Из первого уравнения: $z = 25 - 16 - 7 = 2 \geq 0$ ✓
• Проверка очков: $7 \cdot 16 - 10 \cdot 7 = 112 - 70 = 42$ ✓

При $k = 2$: $y = 14$, $x = 26$

• Но $x = 26 > 25$ — противоречие с количеством вопросов ✗

Дальнейшие значения $k$ дают ещё больший $x$.

Вывод: единственное решение — 16 верных ответов.