Задание 23 ЕГЭ, физика: Оптика

Шаг 1. Условие максимумов дифракции

Для дифракционной решетки главные максимумы возникают при условии: $$d \sin \varphi_m = m \lambda$$

где $d$ — период решетки, $\varphi_m$ — угол дифракции для максимума порядка $m$, $\lambda$ — длина волны.

Для 1-го и 2-го порядков: $$d \sin \varphi_1 = \lambda, \quad d \sin \varphi_2 = 2\lambda$$

Шаг 2. Применение приближения малых углов

По условию углы малы, поэтому $\sin \varphi \approx \tan \varphi \approx \varphi$: $$\tan \varphi_1 \approx \frac{\lambda}{d} = \frac{c}{\nu d}$$ $$\tan \varphi_2 \approx \frac{2\lambda}{d} = \frac{2c}{\nu d}$$

здесь использовано $\lambda = c/\nu$ (скорость света $c = 3 \times 10^8$ м/с, частота $\nu = 8{,}0 \times 10^{14}$ Гц).

Шаг 3. Координаты максимумов на экране

Собирающая линза проецирует максимумы на экран в фокальной плоскости. Расстояния от центра: $$x_1 = f \tan \varphi_1 = \frac{fc}{\nu d}$$ $$x_2 = f \tan \varphi_2 = \frac{2fc}{\nu d}$$

Шаг 4. Расстояние между максимумами

По условию: $$\Delta x = x_2 - x_1 = \frac{2fc}{\nu d} - \frac{fc}{\nu d} = \frac{fc}{\nu d} = 18 \text{ мм}$$

Шаг 5. Вычисление периода решетки

Из последнего равенства: $$d = \frac{fc}{\nu \Delta x} = \frac{0{,}21 \times 3 \times 10^8}{8{,}0 \times 10^{14} \times 18 \times 10^{-3}}$$

$$d = \frac{6{,}3 \times 10^7}{1{,}44 \times 10^{13}} \approx 4{,}4 \times 10^{-6} \text{ м} = 4{,}4 \text{ мкм}$$