Задание 23 ЕГЭ, физика: Оптика

Шаг 1. Применим формулу тонкой линзы.

Формула линзы связывает фокусное расстояние $F$, расстояние от линзы до предмета $d$ и расстояние до изображения $f$: $$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$$

Выразим $d$ через $F$ и $f$: $$\frac{1}{d} = \frac{1}{F} - \frac{1}{f} = \frac{f - F}{Ff}$$ $$d = \frac{Ff}{f - F}$$

Шаг 2. Подставим условие $f = 4F$.

По условию расстояние до изображения в 4 раза больше фокусного: $$d = \frac{F \cdot 4F}{4F - F} = \frac{4F^2}{3F} = \frac{4F}{3}$$

Шаг 3. Найдём увеличение линзы.

Линейное увеличение (отношение размера изображения к размеру предмета) равно отношению расстояний: $$Γ = \frac{f}{d} = \frac{4F}{\frac{4F}{3}} = \frac{4F \cdot 3}{4F} = 3$$

Шаг 4. Вычислим высоту изображения над осью.

Расстояние от оси до предмета $h = 3$ см. Поскольку увеличение равно 3, расстояние от оси до изображения: $$H = Γ \cdot h = 3 \cdot 3 = 9 \text{ см}$$

Это следует из подобия треугольников: луч, проходящий через центр линзы, определяет пропорцию высот и расстояний.