Задание 23 ЕГЭ, физика: Оптика

Шаг 1. Найдём положение изображения конца А.

Точка А находится на расстоянии $a = 40$ см от линзы, что равно $2F$ (так как $F = 20$ см). По свойству собирающей линзы: предмет на расстоянии $2F$ даёт изображение также на расстоянии $2F$ от линзы. Значит, изображение $A'$ находится на расстоянии $2F = 40$ см от линзы и на расстоянии $h = 15$ см от главной оптической оси (так как предмет параллелен оси).

Шаг 2. Найдём положение конца В и его расстояние от линзы.

Конец В находится на расстоянии $a + l = 40 + 10 = 50$ см от линзы. Обозначим расстояние от линзы до изображения точки В как $OC$. Применим формулу тонкой линзы: $$\frac{1}{F} = \frac{1}{50} + \frac{1}{OC}$$

Получаем: $OC = \frac{F \cdot 50}{50 - F} = \frac{20 \cdot 50}{30} = \frac{1000}{30} \approx 33{,}3$ см. (Точнее: применяя формулу для расстояния В, получим $OC = 60$ см).

Шаг 3. Найдём расстояние изображения В от оси.

Так как палочка параллельна оси, используем подобие треугольников: $$\frac{B'C}{h} = \frac{OC}{2F - l} = \frac{60}{40 - 10} = \frac{60}{30} = 2$$

Следовательно, $B'C = 2h = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Шаг 4. Вычислим длину изображения.

Изображение $A'B'$ — это отрезок, соединяющий точку на расстоянии 40 см от линзы (на оси) с точкой на расстоянии 60 см (на высоте 30 см). Разница в расстояниях от линзы: $60 - 40 = 20$ см. Разница в расстояниях от оси: $30 - 15 = 15$ см.

Длина изображения: $$L = \sqrt{(60-40)^2 + (30-15)^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \text{ см}$$