Задание 23 ЕГЭ, физика: Оптика

Шаг 1. Связь увеличения с расстояниями

Увеличение линзы определяется как $k = \frac{H}{h}$, где $H$ — высота изображения, $h$ — высота предмета.

Из геометрии построения изображения (подобие треугольников в линзе) следует, что увеличение равно отношению расстояния от линзы до изображения к расстоянию от линзы до предмета: $$k = \frac{f}{d}$$

Отсюда выражаем расстояние до изображения: $$f = kd$$

Шаг 2. Применяем формулу тонкой линзы

Формула собирающей линзы: $$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = D$$

Подставляем $f = kd$: $$\frac{1}{d} + \frac{1}{kd} = D$$

Приводим к общему знаменателю: $$\frac{k + 1}{kd} = D$$

Отсюда находим расстояние до предмета: $$d = \frac{k+1}{kD}$$

Шаг 3. Находим расстояние до изображения

$$f = kd = k \cdot \frac{k+1}{kD} = \frac{k+1}{D}$$

Шаг 4. Вычисляем общее расстояние

Расстояние между предметом и изображением: $$d + f = \frac{k+1}{kD} + \frac{k+1}{D} = \frac{k+1}{D}\left(\frac{1}{k} + 1\right) = \frac{(k+1)^2}{kD}$$

Подставляем $k = 2$ и $D = 5$ дптр: $$d + f = \frac{(2+1)^2}{2 \cdot 5} = \frac{9}{10} = 0{,}9\text{ м} = 90\text{ см}$$