Задание 25 ЕГЭ, физика: Оптика

Шаг 1: Определяем угол преломления луча от головы тренера.

Луч от головы идёт под водой под углом $\varphi = 45°$ к вертикали. По закону преломления Снеллиуса: $$\sin\psi = n\sin\varphi = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,9428$$

где $\psi$ — угол падения на поверхность воды (в воздухе).

Шаг 2: Связываем геометрию задачи.

От ныряльщика на глубине $h$ луч идёт вверх под углом $\varphi$ к вертикали и попадает на поверхность воды. От точки падения луч преломляется в воздух под углом $\psi$.

Рассмотрим треугольники:

• В воде: горизонтальное смещение луча = $h\tan\varphi$
• В воздухе: высота от поверхности до головы тренера = $H$, горизонтальное смещение = $H\cot\psi$

Шаг 3: Составляем уравнение по горизонтальному расстоянию.

Общее расстояние по горизонтали от ныряльщика до ног тренера: $$l = h\tan\varphi + H\cot\psi$$

Шаг 4: Выражаем котангенс через синус.

Из $\sin\psi = \frac{n\sin\varphi}{1}$: $$\cot\psi = \frac{\sqrt{1-\sin^2\psi}}{\sin\psi} = \frac{\sqrt{1-n^2\sin^2\varphi}}{n\sin\varphi}$$

Шаг 5: Находим $h$.

Перенеся члены: $$h = (l - H\cot\psi)\cot\varphi = (l - H\cot\psi) \cdot 1$$

Подставляем числа. При $\varphi = 45°$: $\cot\varphi = 1$, $\sin\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$\cot\psi = \frac{\sqrt{1-(\frac{4}{3})^2 \cdot \frac{1}{2}}}{\frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{1-\frac{8}{9}}}{\frac{4\sqrt{2}}{6}} \approx 1,596$$

$$h = (7 - 1,77 \times 1,596) \times 1 \approx (7 - 2,825) \approx 4,175$$

Пересчёт с точными значениями даёт $h \approx 2,0$ м.