Задание 26 ЕГЭ, физика: Динамика

Обоснование подхода:

Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй. Все тела движутся поступательно, поэтому применим второй закон Ньютона. Нить нерастяжима, и так как груз не скользит по доске, все три тела имеют одинаковое ускорение: $a_1 = a_2 = a_3 = a$. Сила натяжения нити одна и та же: $T_1 = T_2 = T$. При максимальной массе бруска силы трения между грузом и доской достигают предела скольжения.

Решение:

Шаг 1. Из условия вертикального равновесия груза: $$N_2 = m_2 g$$

Где $N_2$ — нормальная реакция между грузом и доской.

Шаг 2. Максимальная сила трения между грузом и доской: $$F_{\text{тр}} = \mu N_2 = \mu m_2 g$$

Шаг 3. Применим второй закон Ньютона для доски (горизонталь): $$m_1 a = F_{\text{тр}} = \mu m_2 g \quad (1)$$

Шаг 4. Применим второй закон Ньютона для груза (горизонталь): $$m_2 a = T - F_{\text{тр}} = T - \mu m_2 g \quad (2)$$

Шаг 5. Применим второй закон Ньютона для бруска (вертикаль, вниз положительно): $$m_3 a = m_3 g - T \quad (3)$$

Шаг 6. Из уравнения (1) найдём ускорение: $$a = \frac{\mu m_2 g}{m_1}$$

Шаг 7. Из уравнения (2): $$T = m_2 a + \mu m_2 g = m_2 \cdot \frac{\mu m_2 g}{m_1} + \mu m_2 g = \mu m_2 g \left(\frac{m_2}{m_1} + 1\right) = \frac{\mu m_2 g(m_1 + m_2)}{m_1}$$

Шаг 8. Подставим в уравнение (3): $$m_3 \cdot \frac{\mu m_2 g}{m_1} = m_3 g - \frac{\mu m_2 g(m_1 + m_2)}{m_1}$$

$$m_3 \cdot \frac{\mu m_2}{m_1} = m_3 - \frac{\mu m_2(m_1 + m_2)}{m_1}$$

$$m_3 = \frac{\mu m_2(m_1 + m_2)}{m_1 - \mu m_2}$$

Шаг 9. Подставляем числовые значения: $m_1 = 6m$, $m_2 = 3m$, $\mu = 0{,}2$: $$m_3 = \frac{0{,}2 \cdot 3m \cdot 9m}{6m - 0{,}6m} = \frac{5{,}4m^2}{5{,}4m} = m = 2 \text{ кг}$$