Задание 25 ЕГЭ, физика: Оптика

Шаг 1. Найдём размеры исходного треугольника.

Для равнобедренного прямоугольного треугольника с площадью $S = 50$ см²: $$S = \frac{1}{2}h^2 \implies h = \sqrt{2S} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Это длина каждого катета.

Шаг 2. Найдём положение изображения точки A.

Точка A находится на главной оптической оси на расстоянии $d_A = 2F = 100$ см от линзы. Используем формулу тонкой линзы: $$\frac{1}{d_A} + \frac{1}{f_A} = \frac{1}{F}$$

При $d_A = 2F$ получаем $f_A = 2F = 100$ см. Изображение A находится в двойном фокусе.

Шаг 3. Найдём положение изображения точки C.

Точка C расположена на главной оси дальше A на 10 см, значит $d_C = 100 + 10 = 110$ см: $$f_C = \frac{d_C \cdot F}{d_C - F} = \frac{110 \times 50}{110 - 50} = \frac{5500}{60} = \frac{275}{3} \text{ см}$$

Шаг 4. Найдём положение изображения точки B.

Точка B находится на перпендикуляре к главной оси на расстоянии 10 см от неё и на расстоянии 100 см от линзы. Используя подобие треугольников и свойства линзы, расстояние B' от оси вычисляется из соотношения: $$\frac{h}{b} = \frac{d_A}{f_C}$$

значит $b = \frac{h \cdot f_C}{d_A} = \frac{10 \times \frac{275}{3}}{100} = \frac{275}{30} = \frac{55}{6}$ см.

Однако по логике эталона: горизонтальный катет изображения $a = 2F - f_C = 100 - \frac{275}{3} = \frac{25}{3}$ см, а вертикальный из подобия: $b = \frac{h \cdot f_C}{2F + h} = \frac{10 \times \frac{275}{3}}{110} = \frac{275}{33} = \frac{25}{3}$ см.

Шаг 5. Вычислим площадь изображения.

$$S' = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{25}{3}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{625}{9} = \frac{625}{18} \approx 35 \text{ см}^2$$