Задание 25 ЕГЭ, физика: Оптика

Шаг 1. Применяем формулу тонкой линзы

Для любой точки предмета на расстоянии $a$ от линзы её изображение образуется на расстоянии $b$, где: $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}$$

Отсюда выражаем: $b = \frac{aF}{a - F}$

Шаг 2. Находим изображения точек A и C

Точки A и C лежат на одной прямой, перпендикулярной оси. Для них $a_1 = 3F$: $$OA_1 = b_1 = \frac{3F \cdot F}{3F - F} = \frac{3F}{2}$$

Длина изображения катета AC найдём через поперечное увеличение: $$A_1C_1 = AC \cdot \frac{F}{a_1 - F} = F \cdot \frac{F}{2F} = \frac{F}{2}$$

Шаг 3. Вводим переменную для расстояния OB

Обозначим $OB = nF$. Тогда для точки B: $$OB_1 = b_2 = \frac{nF \cdot F}{nF - F} = \frac{nF}{n - 1}$$

Шаг 4. Используем условие на площади

Катет AB в предмете имеет длину $a_2 - a_1 = nF - 3F$. В изображении: $A_1B_1 = b_1 - b_2 = \frac{3F}{2} - \frac{nF}{n-1}$

По условию площадь изображения в $k = 12$ раз меньше: $$S_{ABC} = k \cdot S_{A_1B_1C_1}$$

$$\frac{1}{2}(nF - 3F) \cdot F = 12 \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{3F}{2} - \frac{nF}{n-1}\right) \cdot \frac{F}{2}$$

Шаг 5. Решаем уравнение

$(n - 3)F^2 = 3kF^2 \cdot \left(\frac{3(n-1) - 2n}{2(n-1)}\right)$

$(n - 3) = 3k \cdot \frac{3 - n}{2(n-1)}$

$2(n-1)(n-3) = -3k(n-3)$

При $n \neq 3$: $2(n-1) = -3k/...$ или проще: $(n-3) = \frac{k}{4}F$

$n = 3 + \frac{12}{4} = 4$

Следовательно: $OB = 4F = 8$ см