Задание 25 ЕГЭ, физика: Оптика

Шаг 1. Найдём длину катетов исходного треугольника.

Для равнобедренного прямоугольного треугольника с площадью $S = 50$ см²: $$S = \frac{1}{2}a^2 \implies a = \sqrt{2S} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Значит, $AC = BC = 10$ см.

Шаг 2. Найдём положение точек C и A относительно линзы.

Точка C находится на двойном фокусном расстоянии: $d_C = 2F = 100$ см.

Точка A находится на расстоянии: $d_A = 2F + a = 100 + 10 = 110$ см (так как A лежит дальше C на катете AC длины 10 см).

Шаг 3. Найдём положения изображений C' и A'.

Для точки C (в двойном фокусе) по формуле линзы изображение также находится в двойном фокусе: $d'_C = 2F = 100$ см.

Для точки A используем формулу линзы: $$\frac{1}{d_A} + \frac{1}{d'_A} = \frac{1}{F}$$ $$\frac{1}{110} + \frac{1}{d'_A} = \frac{1}{50}$$ $$\frac{1}{d'_A} = \frac{1}{50} - \frac{1}{110} = \frac{110 - 50}{5500} = \frac{60}{5500} = \frac{3}{275}$$ $$d'_A = \frac{275}{3} \approx 91,67 \text{ см}$$

Расстояние A'C' равно: $x = d'_A - d'_C = \frac{275}{3} - 100 = \frac{275 - 300}{3} = -\frac{25}{3}$ см.

По модулю: $x = \frac{25}{3}$ см. Это можно также вывести из формулы $x = \frac{aF}{F + a} = \frac{10 \cdot 50}{60} = \frac{500}{60} = \frac{25}{3}$ см.

Шаг 4. Найдём длину вертикального катета изображения.

Точка B находится на расстоянии 100 см (как и C), так как расстояние от B до оси равно 10 см, но B находится на одном уровне с проекцией на ось. Её изображение B' будет на двойном фокусе, поэтому $B'C' = a = 10$ см.

Шаг 5. Вычислим площадь изображения.

$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot A'C' \cdot B'C' = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{3} \cdot 10 = \frac{250}{6} = \frac{125}{3} \approx 41,67 \text{ см}^2$$