ГлавнаяЕГЭ ФизикаЗадание 25Оптика

Задание 25 ЕГЭ, физика: Оптика

ЕГЭ ФизикаЗадание 253.6.7 Формула тонкой линзы. Увеличение, даваемое линзой

Условимся считать изображение на пленке фотоаппарата резким, если вместо идеального изображения точки на пленке получается изображение пятна диаметром не более 0,05 мм. Поэтому если объектив находится на фокусном расстоянии от пленки, то резкими считаются не только бесконечно удаленные предметы, но и все предметы, находящиеся дальше некоторого расстояния d. Объектив имеет переменное фокусное расстояние. При этом расстояние, на которое он настроен (в данном случае бесконечность ), не изменяется. При «относительном отверстии» альфа = 4 минимальное расстояние, на котором предметы получаются резкими, меняется (при изменении фокусного расстояния объектива) от 12,5 до 50 м. («Относительное отверстие»  — это отношение фокусного расстояния к диаметру входного отверстия объектива.) В каком диапазоне изменяется фокусное расстояние объектива? При расчетах считать объектив тонкой линзой. Сделайте рисунок, поясняющий образование пятна.

В подтеме 66 задач
Разбор
Главная идея: Размер пятна на пленке связан геометрией входного отверстия и расстоянием до пересечения лучей; формула линзы и условие на относительное отверстие позволяют выразить фокусное расстояние через допустимый радиус пятна и минимальное расстояние резкости.

Шаг 1. Поймём, как образуется пятно.

Когда объектив настроен на бесконечность, параллельные лучи сходятся в фокусе на пленке. Но если предмет ближе, лучи пересекаются дальше пленки, и на пленке вместо точки получается пятно. Размер этого пятна определяется диаметром входного отверстия объектива и углом расхождения лучей.

Шаг 2. Составим геометрическое соотношение.

Обозначим радиус входного отверстия как RR, радиус пятна как hh (максимум 0,025 мм), расстояние от пленки до точки пересечения лучей как xx. По подобию треугольников: RF+x=hx\frac{R}{F+x} = \frac{h}{x}

Отсюда: R⋅x=h(F+x)R \cdot x = h(F+x), или Rx=hF+hxRx = hF + hx, следовательно: x=hFR−h≈hFRx = \frac{hF}{R-h} \approx \frac{hF}{R}

Шаг 3. Применим формулу тонкой линзы.

1d+1F+x=1F\frac{1}{d} + \frac{1}{F+x} = \frac{1}{F}

Преобразуем: 1d=1F−1F+x=F+x−FF(F+x)=xF(F+x)\frac{1}{d} = \frac{1}{F} - \frac{1}{F+x} = \frac{F+x-F}{F(F+x)} = \frac{x}{F(F+x)}

Шаг 4. Используем условие на относительное отверстие.

α=F2R=4⇒R=F8\alpha = \frac{F}{2R} = 4 \Rightarrow R = \frac{F}{8}

Шаг 5. Подставим и получим формулу для F.

Из x=hFRx = \frac{hF}{R} с R=F8R = \frac{F}{8} получаем x=8hx = 8h.

Подставляя в формулу линзы: 1d=8hF(F+8h)\frac{1}{d} = \frac{8h}{F(F+8h)}

Решаем квадратное уравнение относительно FF: F2+8hF−8hd=0F^2 + 8hF - 8hd = 0 F=8hdF = \sqrt{8hd}

Шаг 6. Вычислим диапазон.

Для d=12,5d = 12,5 м =12500= 12500 мм и h=0,025h = 0,025 мм: F1=8×0,025×12500=2500=50 ммF_1 = \sqrt{8 \times 0,025 \times 12500} = \sqrt{2500} = 50 \text{ мм}

Для d=50d = 50 м =50000= 50000 мм: F2=8×0,025×50000=10000=100 ммF_2 = \sqrt{8 \times 0,025 \times 50000} = \sqrt{10000} = 100 \text{ мм}

Типичные ошибки

  • Забыли перевести миллиметры в миллиметры или ошиблись в единицах (h в мм, d в мм, F в мм)
  • Неправильно применили условие подобия треугольников или неверно ввели расстояние x
  • Потеряли фактор 8 при подстановке условия α = 4 (пропустили множитель 2 или ошибку в алгебре)
Непонятно?

Похожие задачи