Задание 25 ЕГЭ, физика: Оптика

Понимание физики явления

Когда объектив фокусирует свет от близкого предмета, лучи сходятся не в точке на пленке, а в точке позади неё. Из входного отверстия выходит конус лучей, который пересекает пленку кружком (пятном). Пока диаметр этого пятна не превышает 0,05 мм, изображение считается резким.

Составление уравнений

Уравнение 1 (линза): По формуле тонкой линзы для предмета на расстоянии $d$: $$\frac{1}{d} + \frac{1}{F + x} = \frac{1}{F}$$

здесь $x$ — расстояние от пленки до точки схождения лучей.

Уравнение 2 (геометрия): Из подобия треугольников (радиус входного отверстия $R$, радиус пятна $h$): $$\frac{R}{F + x} = \frac{h}{x}$$

Отсюда: $x = \frac{hF}{R - h} \approx \frac{hF}{R}$ (так как $h \ll R$)

Уравнение 3 (условие): $\alpha = \frac{F}{2R} = 4$, откуда $R = \frac{F}{8}$

Решение

Подставим $x = \frac{hF}{R} = \frac{8hF}{F} = 8h$ в первое уравнение: $$\frac{1}{d} + \frac{1}{F + 8h} = \frac{1}{F}$$

$$\frac{1}{F + 8h} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{Fd}$$

$$F + 8h = \frac{Fd}{d - F}$$

$$F(d - F) + 8h(d - F) = Fd$$

$$-F^2 + 8hd - 8hF = 0$$

$$F^2 + 8hF - 8hd = 0$$

По формуле корней: $F = \frac{-8h + \sqrt{64h^2 + 32hd}}{2} = \sqrt{8hd}$ (берём положительный корень)

$$F = \sqrt{8 \cdot 0,025 \text{ мм} \cdot 12500 \text{ мм}} = \sqrt{2500} = 50 \text{ мм}$$