Задание 25 ЕГЭ, физика: Оптика

Шаг 1. Начальное положение предмета и его изображение

Предмет находится на расстоянии $a = 16$ см от линзы, а фокусное расстояние $F = 8$ см. Заметим, что $a = 2F$, значит предмет на двойном фокусе. По формуле тонкой линзы $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$ с $d = 16$ см получаем изображение также на расстоянии $f = 16$ см от линзы. Изображение находится на оптической оси.

Шаг 2. Положение предмета после смещения

Предмет перемещён на 20 см от линзы и на 3 см от оси. Применим формулу линзы с новым расстоянием $d = 20$ см: $$f = \frac{dF}{d - F} = \frac{20 \cdot 8}{20 - 8} = \frac{160}{12} = \frac{40}{3} \text{ см}$$

Шаг 3. Размер изображения

Используем подобие треугольников. Поперечное увеличение: $\frac{h'}{h} = \frac{f}{d}$, где $h = 3$ см — смещение предмета от оси: $$h' = \frac{hf}{d} = \frac{3 \cdot \frac{40}{3}}{20} = \frac{40}{20} = 2 \text{ см}$$

Изображение смещается на 2 см в противоположную сторону от оси.

Шаг 4. Смещение изображения вдоль оси

Изображение было на 16 см, теперь на $\frac{40}{3}$ см от линзы: $$\Delta b = 16 - \frac{40}{3} = \frac{48 - 40}{3} = \frac{8}{3} \text{ см}$$

Шаг 5. Полное смещение в пространстве

Изображение сместилось на $\frac{8}{3}$ см вдоль оси и на 2 см перпендикулярно оси. Общее расстояние: $$\Delta s = \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + 4} = \sqrt{\frac{64 + 36}{9}} = \sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{10}{3} \text{ см}$$