Задание 22 ЕГЭ, физика: Механика

Схема сил: На шар действуют три силы: вес $mg$ (вниз), выталкивающая сила $F_A$ (вверх, так как половина объёма в воде) и нормальная реакция дна $N$ (вверх).

Шаг 1: Связь силы давления и реакции опоры. По третьему закону Ньютона, сила, с которой шар давит на дно, равна по модулю нормальной реакции: $F = N$.

Шаг 2: Второй закон Ньютона. Шар неподвижен, поэтому сумма сил равна нулю. В вертикальном направлении: $$mg = F_A + N = F_A + F$$

Шаг 3: Выталкивающая сила. Архимедова сила действует на погружённую часть объёма. Так как в воде находится половина шара: $$F_A = \rho_{\text{в}} g \frac{V}{2}$$

Массу шара выразим через его плотность: $m = \rho V$, откуда $V = \frac{m}{\rho}$.

Тогда: $$F_A = \rho_{\text{в}} g \frac{m}{2\rho}$$

Шаг 4: Найдём плотность дерева. Подставим выражение для $F_A$ в уравнение равновесия: $$mg = \frac{\rho_{\text{в}} g m}{2\rho} + F$$

$$mg - F = \frac{\rho_{\text{в}} g m}{2\rho}$$

$$\rho = \frac{\rho_{\text{в}} g m}{2(mg - F)}$$

Подставим значения: $m = 0,454$ кг, $g = 10$ м/с², $\rho_{\text{в}} = 1000$ кг/м³, $F = 1,66$ Н:

$$\rho = \frac{1000 \cdot 10 \cdot 0,454}{2(0,454 \cdot 10 - 1,66)} = \frac{4540}{2(4,54 - 1,66)} = \frac{4540}{2 \cdot 2,88} = \frac{4540}{5,76} \approx 788 \approx 790 \text{ кг/м}^3$$