Задание 22 ЕГЭ по физике: механика и термодинамика — гайд с примерами

Что проверяет задание

Задание 22 объединяет механику (кинематика, динамика, законы сохранения, гравитация, колебания) и молекулярную физику с термодинамикой (газовые законы, первый закон термодинамики, тепловой баланс). Проверяется умение:

• выделить физическую модель процесса (упругий/неупругий удар, вращение вокруг оси, изопроцесс газа, фазовый переход);
• записать законы сохранения энергии, импульса или момента импульса;
• работать с уравнением состояния идеального газа и первым законом термодинамики;
• переводить единицы измерения и доводить решение до числового ответа с нужной точностью.

Задача часто комбинированная: в одном условии соединены два раздела физики (например, удар и вращение, или газовый процесс и теплообмен), поэтому важно сразу определить модель и действовать по алгоритму, а не угадывать формулу.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Формулировка короткая: описывается конкретное явление (движение тела, столкновение, нагрев газа) и задаётся вопрос вида «найдите…», «во сколько раз…», «чему равна…». Ответ — число, иногда с указанием точности («с точностью до двух знаков после запятой»). Задание относится к части с кратким ответом: засчитывается только правильное числовое значение (с учётом допустимой погрешности), промежуточные записи при автоматической проверке не оцениваются, поэтому вычисления нужно доводить до конца аккуратно и проверять единицы измерения.

Что нужно знать

Механика:

• $v=v_0+at$, $x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}$
• Второй закон Ньютона: $\vec F=m\vec a$
• Закон сохранения импульса: $\sum \vec p_{до}=\sum \vec p_{после}$
• Закон сохранения энергии: $E_к+E_п=\text{const}$ без потерь
• $A=\Delta E_к=\frac{mv^2}{2}-\frac{mv_0^2}{2}$
• Гравитация: $F=\frac{GMm}{R^2}$, $g=\frac{GM}{R^2}$
• Первая космическая скорость: $v_1=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
• Колебания: $x=A\sin(\omega t+\varphi_0)$, $\omega=\frac{2\pi}{T}$, $v_{max}=A\omega$, $a_{max}=A\omega^2$
• Момент инерции: точка $I=mr^2$; стержень относительно конца $I=\frac13ML^2$; относительно центра $I=\frac1{12}ML^2$
• Момент импульса $L=I\omega$, энергия вращения $E=\frac{I\omega^2}{2}$

МКТ и термодинамика:

• $pV=\nu RT=NkT$
• Средняя энергия молекулы: $\bar E=\frac32 kT$
• Внутренняя энергия: $U=\frac{i}{2}\nu RT$ ($i=3$ — одноатомный газ, $i=5$ — двухатомный)
• Первый закон термодинамики: $Q=\Delta U+A_{газа}$
• Работа при постоянном давлении: $A=p\Delta V$
• Изохорный процесс: $A=0$, $Q=\Delta U$; изотермический: $\Delta U=0$, $Q=A$
• Тепловой баланс: $\sum Q_{отдано}=\sum Q_{получено}$
• $Q=cm\Delta T$; фазовые переходы $Q=\lambda m$ (плавление), $Q=rm$ (испарение)
• КПД: $\eta=\frac{A}{Q_1}=1-\frac{Q_2}{Q_1}$; цикл Карно $\eta_{max}=1-\frac{T_2}{T_1}$

Методы решения

1. Закон сохранения энергии — для движения без потерь (падение, подъём, колебания). Мини-пример: шарик скатывается с высоты $h$ без трения, у основания $v=\sqrt{2gh}$.

2. Законы сохранения импульса и момента импульса — для ударов и вращающихся систем. При абсолютно неупругом ударе $v=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$. Если удар происходит на вращающемся теле и обе массы оказываются на одинаковом расстоянии от оси, задача сводится к обычному одномерному неупругому удару — расстояние сокращается.

3. Анализ графика или таблицы колебаний — амплитуда $A$ находится как половина разности максимального и минимального смещения, период $T$ — как промежуток, через который повторяется набор значений; далее $v_{max}=A\omega=A\frac{2\pi}{T}$.

4. Комбинация газовых законов и первого закона термодинамики — сначала находят неизвестный параметр газа из $pV=\nu RT$, затем считают $Q$, $\Delta U$, $A$. Мини-пример: изохорный нагрев, $A=0$, значит $Q=\Delta U=\frac{i}{2}\nu R\Delta T$.

5. Уравнение теплового баланса — для смешивания веществ и фазовых переходов: теплота, отданная горячими телами, равна теплоте, полученной холодными.

Алгоритм решения по шагам

1. Прочитать условие, выделить объекты и процесс (удар, колебание, изопроцесс, теплообмен).
2. Перевести данные в СИ (см → м, г → кг, °C → K).
3. Определить применимый закон сохранения или уравнение состояния, выбрать оси и систему отсчёта.
4. Записать уравнения в буквенном виде, не подставляя числа — так виднее, что сократится.
5. Упростить алгебраически, выразить искомую величину явной формулой.
6. Подставить числа, посчитать без раннего округления промежуточных результатов.
7. Проверить единицы измерения, правдоподобность ответа и округлить с требуемой точностью.

Разбор примеров

Пример 1. Максимальная скорость груза на нити

По таблице координаты $x$ через $\Delta t=0{,}5$ с равны (в см): $6;\,3;\,0;\,3;\,6;\,3;\,0;\,3$.

Шаг 1. Амплитуда: $x_{max}=6$ см, $x_{min}=0$ см, значит $A=\frac{6-0}{2}=3$ см $=0{,}03$ м.

Шаг 2. Период: набор $6;3;0;3$ повторяется через каждые 4 отсчёта, то есть через $4\cdot0{,}5=2$ с, значит $T=2$ с.

Шаг 3. Угловая частота: $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2}=\pi\approx3{,}14$ рад/с.

Шаг 4. Максимальная скорость достигается в положении равновесия: $v_{max}=A\omega=0{,}03\cdot3{,}14\approx0{,}094$ м/с $\approx0{,}09$ м/с.

Ответ: $0{,}09$ м/с.

Пример 2. Первая космическая скорость для планеты Плюк

Дано: $\rho_{Пл}=\rho_З$, $R_{Пл}=2R_З$. Нужно найти $\frac{v_{1,Пл}}{v_{1,З}}$.

Шаг 1. Масса через плотность: $M=\rho\cdot\frac43\pi R^3$.

Шаг 2. Первая космическая скорость: $v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{4}{3}\pi G\rho R^2}=R\sqrt{\frac43\pi G\rho}$.

Шаг 3. При одинаковой плотности $v_1\propto R$.

Шаг 4. Отношение: $\frac{v_{1,Пл}}{v_{1,З}}=\frac{R_{Пл}}{R_З}=\frac{2R_З}{R_З}=2$.

Ответ: скорость на Плюке больше в 2 раза.

Пример 3. Доска на шарнире и удар пластилинового шарика

Доска массой $M=0{,}8$ кг висит на лёгком стержне, закреплённом шарнирно к потолку (физический маятник). Шарик массой $m=0{,}2$ кг летит со скоростью $v=10$ м/с под углом $\alpha=60°$ к нормали доски и прилипает к ней в точке, находящейся на том же расстоянии от оси, что и масса доски. Найти высоту подъёма $h$.

Шаг 1. Раскладываем скорость шарика: составляющая по нормали к доске поворачивает систему (она перпендикулярна радиус-вектору точки удара, который в момент удара направлен вертикально), составляющая вдоль поверхности доски параллельна радиус-вектору и не влияет на вращение.

$$u=v\cos\alpha=10\cdot\cos60°=10\cdot0{,}5=5\text{ м/с}$$

Шаг 2. Так как шарик прилипает в той же точке, где эффективно сосредоточена масса доски, удар по вращательному эффекту эквивалентен одномерному абсолютно неупругому столкновению:

$$mu=(M+m)V \Rightarrow V=\frac{mu}{M+m}=\frac{0{,}2\cdot5}{0{,}8+0{,}2}=1\text{ м/с}$$

Шаг 3. После удара система поднимается на высоту $h$, кинетическая энергия переходит в потенциальную:

$$\frac{(M+m)V^2}{2}=(M+m)gh \Rightarrow h=\frac{V^2}{2g}=\frac{1^2}{2\cdot10}=0{,}05\text{ м}$$

Ответ: $h=0{,}05$ м.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают угол к нормали и угол к поверхности — от этого зависит, какую тригонометрическую функцию использовать для нужной составляющей скорости.
• Не переводят единицы (см, г, °C) в СИ перед расчётом, из-за чего ответ отличается в 10, 100 или 1000 раз.
• В задачах с таблицей колебаний путают среднюю скорость на интервале $\Delta x/\Delta t$ с максимальной скоростью в положении равновесия — это разные величины, нужную скорость находят через амплитуду и период.
• Используют неверную формулу момента инерции или не замечают, что удар происходит на одинаковом расстоянии от оси у обеих масс, из-за чего усложняют решение там, где всё сокращается.
• Путают знак работы газа и работы над газом, забывают, что при изохорном процессе работа равна нулю, а при изотермическом — равно нулю изменение внутренней энергии.
• Забывают округлить ответ до указанной точности или, наоборот, округляют промежуточные результаты слишком рано, накапливая ошибку.
• Не оценивают порядок величины окончательного ответа, из-за чего пропускают явно нереалистичные результаты.

Как готовиться

Разбирайте задачи блоками: сначала все на удары и вращение, потом на колебания, потом на газовые законы и теплообмен — так проще запомнить, какой закон применять в каждом случае. Составьте компактный список формул и используйте его при тренировке, постепенно убирая подсказки. Отдельно прорешайте задачи с графиками и таблицами — важно уверенно находить амплитуду, период и нужные разности величин. Запоминайте типовые модели тел (точечная масса, стержень, диск) и формулы моментов инерции для них. При решении сначала записывайте уравнения в буквенном виде и ищите, что можно сократить — это экономит время и снижает число арифметических ошибок. Решайте задачи на время, близкое к экзаменационному (5–7 минут на задачу), и обязательно проверяйте единицы измерения и точность округления перед записью финального ответа.