Задание 23 ЕГЭ, физика: Оптика

Шаг 1. Условие дифракционного максимума

Для дифракционной решётки максимумы наблюдаются при условии: $$d \sin \varphi = k\lambda$$

где $d$ — период решётки, $\varphi$ — угол дифракции, $k$ — порядок максимума (в нашем случае $k=2$), $\lambda$ — длина волны.

Шаг 2. Применение приближения малых углов

Поскольку расстояние до экрана велико (2 м), а ширина спектра мала (8 см), углы дифракции малы. Поэтому используем приближение: $$\sin \varphi \approx \tan \varphi = \frac{b}{L}$$

где $b$ — расстояние от центрального максимума до линии спектра, $L$ — расстояние от решётки до экрана.

Шаг 3. Уравнения для красного и фиолетового света

Для фиолетового света (наружный край спектра, $\lambda_ф = 4 \times 10^{-7}$ м): $$d \cdot \frac{b_1}{L} = 2\lambda_ф$$

Для красного света (внутренний край спектра, $\lambda_к = 8 \times 10^{-7}$ м): $$d \cdot \frac{b_2}{L} = 2\lambda_к$$

Шаг 4. Нахождение периода решётки

Вычитаем второе уравнение из первого: $$d \cdot \frac{b_1 - b_2}{L} = 2(\lambda_ф - \lambda_к)$$

Разность $\Delta b = b_1 - b_2 = 8$ см = $8 \times 10^{-2}$ м — это ширина спектра второго порядка.

$$d = \frac{L \cdot 2 \cdot (\lambda_ф - \lambda_к)}{\Delta b} = \frac{2 \times 2 \times (8-4) \times 10^{-7}}{8 \times 10^{-2}}$$

$$d = \frac{4 \times 4 \times 10^{-7}}{8 \times 10^{-2}} = \frac{16 \times 10^{-7}}{8 \times 10^{-2}} = 2 \times 10^{-5} \text{ м} = 2 \times 10^{-3} \text{ см}$$

Шаг 5. Количество штрихов на 1 см

$$N = \frac{1 \text{ см}}{d} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500$$