Задание 22 ЕГЭ, физика: Механика

На шарик действуют три силы: вес $mg$, направленный вниз, и две выталкивающие силы Архимеда — от каждой жидкости, направленные вверх.

Шаг 1. Условие равновесия. Для плавания в равновесии сумма сил Архимеда должна равняться весу: $$F_{A1} + F_{A2} = mg$$

Шаг 2. Определяем объёмы погружения. По условию выше границы раздела находится $\frac{1}{4}$ объёма шарика, значит в первой жидкости погружена часть: $$V_1 = \frac{V}{4}$$

В нижней жидкости находится оставшаяся часть: $$V_2 = V - \frac{V}{4} = \frac{3V}{4}$$

Шаг 3. Записываем силы Архимеда. Для первой жидкости: $$F_{A1} = \rho_1 g V_1 = \rho_1 g \frac{V}{4}$$

Для второй жидкости: $$F_{A2} = \rho_2 g V_2 = \rho_2 g \frac{3V}{4}$$

Шаг 4. Выражаем массу шарика. $$m = \rho V$$

Шаг 5. Подставляем в условие равновесия. $$\rho_1 g \frac{V}{4} + \rho_2 g \frac{3V}{4} = \rho V g$$

Сокращаем на $g$ и $V$: $$\frac{\rho_1}{4} + \frac{3\rho_2}{4} = \rho$$

$$\rho = \frac{\rho_1 + 3\rho_2}{4} = \frac{800 + 3 \cdot 1000}{4} = \frac{3800}{4} = 950 \text{ кг/м}^3$$